Question

（2012•涼山州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=x+4與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，并與x軸交于另一點(diǎn)C（點(diǎn)C點(diǎn)A的右側(cè)），點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)P在第二象限內(nèi)，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸于D，交AB于點(diǎn)E．當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，線段PE最長(zhǎng)？此時(shí)PE等于多少？
（3）如果平行于x軸的動(dòng)直線l與拋物線交于點(diǎn)Q，與直線AB交于點(diǎn)N，點(diǎn)M為OA的中點(diǎn)，那么是否存在這樣的直線l，使得△MON是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）首先求得A、B點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，并求出拋物線與x軸另一交點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）關(guān)鍵是求出線段PE長(zhǎng)度的表達(dá)式，設(shè)D點(diǎn)橫坐標(biāo)為t，則可以將PE表示為關(guān)于t的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)求極值的方法求出PE長(zhǎng)度的最大值；
（3）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理，將直線l的存在性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元二次方程問(wèn)題，通過(guò)一元二次方程的判別式可知直線l是否存在，并求出相應(yīng)Q點(diǎn)的坐標(biāo)．注意“△MON是等腰三角形”，其中包含三種情況，需要逐一討論，不能漏解．

解答：解：（1）∵直線y=x+4與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，∴A（-4，0），B（0，4）
拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，可得

-16-4b+c=0 c=4

，解得

b=-3 c=4

，
∴拋物線解析式為y=-x²-3x+4．
令y=0，得-x²-3x+4=0，
解得x₁=-4，x₂=1，∴C（1，0）．

（2）如答圖1所示，設(shè)D（t，0）．
∵OA=OB，∴∠BAO=45°，
∴E（t，t+4），P（t，-t²-3t+4）．
PE=y_P-y_E=-t²-3t+4-t-4=-t²-4t=-（t+2）²+4，
∴當(dāng)t=-2時(shí)，線段PE的長(zhǎng)度有最大值4，此時(shí)P（-2，6）．

（3）存在．
如答圖2所示，過(guò)N點(diǎn)作NH⊥x軸于點(diǎn)H．
設(shè)OH=m（m＞0），∵OA=OB，∴∠BAO=45°，
∴NH=AH=4-m，∴y_Q=4-m．
又M為OA中點(diǎn)，∴MH=2-m．
△MON為等腰三角形：
①若MN=ON，則H為底邊OM的中點(diǎn)，
∴m=1，∴y_Q=4-m=3．
由-x_Q²-3x_Q+4=3，解得x_Q=

-3± 13

2

，
∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為（

-3+ 13

2

，3）或（

-3- 13

2

，3）；
②若MN=OM=2，則在Rt△MNH中，
根據(jù)勾股定理得：MN²=NH²+MH²，即2²=（4-m）²+（2-m）²，
化簡(jiǎn)得m²-6m+8=0，解得：m₁=2，m₂=4（不合題意，舍去）
∴y_Q=2，由-x_Q²-3x_Q+4=2，解得x_Q=

-3± 17

2

，
∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為（

-3+ 17

2

，2）或（

-3- 17

2

，2）；
③若ON=OM=2，則在Rt△NOH中，
根據(jù)勾股定理得：ON²=NH²+OH²，即2²=（4-m）²+m²，
化簡(jiǎn)得m²-4m+6=0，∵△=-8＜0，
∴此時(shí)不存在這樣的直線l，使得△MON為等腰三角形．
綜上所述，存在這樣的直線l，使得△MON為等腰三角形．
所求Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（

-3+ 13

2

，3）或（

-3- 13

2

，3）或（

-3+ 17

2

，2）或（

-3- 17

2

，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、一次函數(shù)、一元二次方程的解法及判別式、等腰三角形以及勾股定理等方面知識(shí)，涉及考點(diǎn)較多，難度較大．第（3）問(wèn)中，注意等腰三角形有三種情形，需要分類討論，避免因漏解而導(dǎo)致失分．