(2002•黃岡)已知:如圖,拋物線c1經(jīng)過A,B,C三點,頂點為D,且與x軸的另一個交點為E.
(1)求拋物線c1解析式;
(2)求四邊形ABDE的面積;
(3)△AOB與△BDE是否相似,如果相似,請予以證明;如果不相似,請說明理由;
(4)設(shè)拋物線c1的對稱軸與x軸交于點F,另一條拋物線c2經(jīng)過點E(拋物線c2與拋物線c1不重合),且頂點為M(a,b),對稱軸與x軸相交于點G,且以M,G,E為頂點的三角形與以D,E,F(xiàn)為頂點的三角形全等,求a,b的值.(只需寫出結(jié)果,不必寫出解答過程)

【答案】分析:(1)根據(jù)圖象可得出A、B、C三點的坐標(biāo),然后用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式.
(2)由于四邊形ABDE不是規(guī)則的四邊形,因此可過D作DF⊥x軸于F,將四邊形ABDE分成△AOB,梯形BOFD和△DFE三部分來求.
(3)可先根據(jù)坐標(biāo)系中兩點間的距離公式,分別求出AB、BE、DE、BD的長,然后看兩三角形的線段是否對應(yīng)成比例即可.
(4)要使兩三角形全等,那么兩直角三角形的兩直角邊應(yīng)對應(yīng)相等.
①當(dāng)EF=EG=1,DF=MG=3,此時M點的坐標(biāo)可能為(5,4),(5,-4),(1,-4).
②當(dāng)EF=MG=1,DF=EG=3,此時M點的坐標(biāo)可能是(7,1),(7,-1),(-1,1),(-1,-1).
綜上所述可得出a、b的值.
解答:解:(1)設(shè)c1的解析式為y=ax2+bx+c,由圖象可知:c1過A(-1,0),B(0,3),C(2,3)三點.

解得:
∴拋物線c1的解析式為y=-x2+2x+3.

(2)∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4.
∴拋物線c1的頂點D的坐標(biāo)為(1,4);
過D作DF⊥x軸于F,由圖象可知:OA=1,OB=3,OF=1,DF=4;
令y=0,則-x2+2x+3=0,
解得x1=-1,x2=3
∴OE=3,則FE=2.
S△ABO=OA•OB=×1×3=;
S△DFE=DF•FE=×4×2=4;
S梯形BOFD=(BO+DF)•OF=
∴S四邊形ABDE=S△AOB+S梯形BOFD+S△DFE=9(平方單位).

(3)如圖,過B作BK⊥DF于K,則BK=OF=1.
DK=DF-OB=4-3=1.
∴BD==,
又DE==2;
AB=,BE=3;
在△ABO和△BDE中,
AO=1,BO=3,AB=
BD=,BE=3,DE=2
===
∴△AOB∽△DBE.

(4),,,,
點評:本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、三角形相似、圖形面積的求法等知識點,綜合性強(qiáng),考查學(xué)生分類討論,數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.
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(2)請找出S△ABD,S△BED和S△BDC間的關(guān)系式,并給出證明.


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B.b2-4ac>0
C.2a+b>0
D.4a-2b+c<0

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