Question

（2012•義烏市模擬）如圖，邊長(zhǎng)為4的等邊△AOB的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸正半軸上，點(diǎn)B在第一象限．一動(dòng)點(diǎn)P沿x軸以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度由點(diǎn)O向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒．在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段BP的中點(diǎn)為點(diǎn)E，將線段PE繞點(diǎn)P按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得PC． 
（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到線段OA的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為

（

7

2

，

3

2

）

；
（2）在點(diǎn)P從點(diǎn)O到點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，用含t的代數(shù)式表示點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）在點(diǎn)P從點(diǎn)O到點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求出點(diǎn)C所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）過(guò)點(diǎn)作CD⊥x軸于點(diǎn)D，先由等邊三角形的性質(zhì)求出P點(diǎn)坐標(biāo)及BP的長(zhǎng)，故可得出PE的長(zhǎng)，由圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出PC=PE及∠CPD的度數(shù)，再由銳角三角函數(shù)的定義即可求出PD及CD的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出結(jié)論；
（2）過(guò)P作PD⊥OB于點(diǎn)D，過(guò)C作CF⊥PA于點(diǎn)F，在Rt△OPD中  PD=OP•sin60°=

3

2

t，由相似三角形的判定定理得出△BPD∽△PCF，故可得出CF及PF的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出C點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）取OA的中點(diǎn)M，連接MC，由（2）得CF=

3

4

t，MF=

3

4

t，由銳角三角函數(shù)的定義得出∠CMF=30°，可知點(diǎn)C在直線MC上運(yùn)動(dòng)．故當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)O時(shí)，點(diǎn)C與點(diǎn)M重合．
當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（5，

3

），由兩點(diǎn)間的距離公式即可得出結(jié)論．

解答：解：（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)作CD⊥x軸于點(diǎn)D，
∵△AOB是等邊三角形，P是OA的中點(diǎn)，
∴P（2，0），BP=OB•sin60°=4×

3

2

=2

3

，
∵E是BP的中點(diǎn)，
∴PE=

3

，
∴PE=PC=

3

，
∵∠BPC=60°，
∴∠CPA=30°，
∴PD=PC•cos30°=

3

×

3

2

=

3

2

，CD=PC•sin30°=

3

×

1

2

=

3

2

，
∴OD=OP+PD=2+

3

2

=

7

2

，
∴C（

7

2

，

3

2

）；

（2）如圖2，過(guò)P作PD⊥OB于點(diǎn)D，過(guò)C作CF⊥PA于點(diǎn)F
在Rt△OPD中  PD=OP•sin60°=

3

2

t，
∵∠OBP+∠OPB=∠CPF+∠OPB=120°
∴∠DBP=∠FPC，
∵∠PDB=∠CFP=90°
∴△BPD∽△PCF，
∴CF=

1

2

DP=

3

4

t，PF=

1

2

BD=2-

1

4

t
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（2+

3

4

t，

3

4

t）；        

（3）取OA的中點(diǎn)M，連接MC，由（2）得CF=

3

4

t，MF=

3

4

t．
∴tan∠CMF=

3 4 t

3 4 t

=

3

3

∴∠CMF=30°．
∴點(diǎn)C在直線MC上運(yùn)動(dòng)．
當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)O時(shí)，點(diǎn)C與點(diǎn)M重合．
當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(5，

3

)
∴點(diǎn)C所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是相似形綜合題及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．