Question

已知⊙O₁與⊙O₂相交于點(diǎn)A、B，AB=8，O₁O₂=2，⊙O₁的半徑為5，那么⊙O₂的半徑為    ．

Answer 1

【答案】分析：分兩種情況考慮：當(dāng)兩圓心O₁與O₂位于公共弦AB兩側(cè)時(shí)，如圖所示，由AB為兩圓的公共弦，可得出兩圓心的連線垂直平分AB，由AB的長(zhǎng)求出AC的長(zhǎng)，Rt△AO₁C中，由⊙O₁的半徑及AC的長(zhǎng)，利用勾股定理求出O₁C的長(zhǎng)，而O₁C大于O₁O₂，矛盾，故此情況不成立；當(dāng)兩圓心O₁與O₂位于公共弦AB一側(cè)時(shí)，如圖所示，由AB為兩圓的公共弦，可得出兩圓心的連線垂直平分AB，由AB的長(zhǎng)求出AC的長(zhǎng)，Rt△AO₁C中，由⊙O₁的半徑及AC的長(zhǎng)，利用勾股定理求出O₁C的長(zhǎng)，由O₁C-O₁O₂求出O₂C的長(zhǎng)，在Rt△AO₂C中，根據(jù)O₂C及AC的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理求出AO₂的長(zhǎng)，即為⊙O₂的半徑，綜上，得到⊙O₂的半徑．
解答：解：分兩種情況考慮：
當(dāng)兩圓心O₁與O₂位于公共弦AB兩側(cè)時(shí)，如圖所示：

∵AB為⊙O₁與⊙O₂的公共弦，
∴O₁O₂⊥AB，且C為AB的中點(diǎn)，
∵AB=8，∴AC=AB=4，
在Rt△AO₁C中，AO₁=5，AC=4，
根據(jù)勾股定理得：O₁C==3，
又O₁O₂=2＜3=O₁C，矛盾；
當(dāng)兩圓心O₁與O₂位于公共弦AB一側(cè)時(shí)，如圖所示：

∵AB為⊙O₁與⊙O₂的公共弦，
∴O₁O₂⊥AB，且C為AB的中點(diǎn)，
∵AB=8，∴AC=AB=4，
在Rt△AO₁C中，AO₁=5，AC=4，
根據(jù)勾股定理得：O₁C==3，
又O₁O₂=2，∴O₂C=O₁C-O₁O₂=3-2=1，
在Rt△AO₂C中，O₂C=1，AC=4，
根據(jù)勾股定理得：AO₂==，
綜上，⊙O₂的半徑為．
故答案為：
點(diǎn)評(píng)：此題考查了兩圓相交的性質(zhì)，涉及的知識(shí)有：勾股定理，以及連心線與公共弦的關(guān)系，利用了分類(lèi)討論及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，本題注意考慮兩種情況，得出符合題意⊙O₂的半徑．