Question

在三角形ABC中，點(diǎn)O是AC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)O作MN∥BC，設(shè)MN交∠BCA的平分線于點(diǎn)E，交△ABC的外角∠ACD平分線于點(diǎn)E．
（1）求證：OE=OF．
（2）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AECF是矩形，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)平行線性質(zhì)和角平分線性質(zhì)及，由平行線所夾的內(nèi)錯(cuò)角相等易證；
（2）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形，根據(jù)矩形的判定方法，即一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形可證．

解答：（1）證明：∵CE平分∠ACB，
∴∠1=∠2，
又∵M(jìn)N∥BC，
∴∠1=∠3，
∴∠3=∠2，
∴EO=CO，
同理，F(xiàn)O=CO，
∴EO=FO；

（2）解：當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形．
理由如下：
∵EO=FO，點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)．
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵CF平分∠BCA的外角，
∴∠4=∠5，
又∵∠1=∠2，
∴∠2+∠4=

1

2

×180°=90°．
即∠ECF=90度，
∴四邊形AECF是矩形．

點(diǎn)評(píng)：本題涉及矩形的判定定理，解答此類題的關(guān)鍵是要突破思維定勢(shì)的障礙，運(yùn)用發(fā)散思維，多方思考，探究問題在不同條件下的不同結(jié)論，挖掘它的內(nèi)在聯(lián)系，向“縱、橫、深、廣”拓展，從而尋找出添加的條件和所得的結(jié)論．