Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P₀的坐標(biāo)為（1，0），將線段OP₀按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°，將其長度伸長為OP₀的2倍，得到線段OP₁；再將線段OP₁按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°，長度伸長為OP₁的2倍，得到線段OP₂；如此下去，得到線段OP₃，OP₄，…，OP_n（n為正整數(shù)）
（1）求點(diǎn)P₆的坐標(biāo)；
（2）求△P₅OP₆的面積；
（3）我們規(guī)定：把點(diǎn)P_n（x_n，y_n）（n=0，1，2，3，…）的橫坐標(biāo)x_n、縱坐標(biāo)y_n都取絕對值后得到的新坐標(biāo)（|x_n|，|y_n|）稱之為點(diǎn)P_n的“絕對坐標(biāo)”．根據(jù)圖中點(diǎn)P_n的分布規(guī)律，請你猜想點(diǎn)P_n的“絕對坐標(biāo)”，并寫出來．

Answer 1

分析：（1）OP₆旋轉(zhuǎn)了6×45°=270°，得到點(diǎn)P₆落在y軸的負(fù)半軸，而點(diǎn)P_n到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離始終等于前一個點(diǎn)到原點(diǎn)距離的2倍，故其坐標(biāo)為P₆（0，-2⁶）；
（2）根據(jù)兩組對應(yīng)邊的比相等，且它們的夾角也相等，則這兩個三角形相似得到△P₀OP₁∽△P₁OP₂∽△P_n-1OP_n．然后求出S_△P0OP1=

1

2

×1×

2

=

2

2

，再求出

OP6

OP1

=32，利用相似三角形面積的比等于它們的相似比即可得到△P₅OP₆的面積；
（3）分類討論：令旋轉(zhuǎn)次數(shù)為n，①當(dāng)n=8k或n=8k+4時（其中k為自然數(shù)），點(diǎn)P_n落在x軸上，此時，點(diǎn)P_n的絕對坐標(biāo)為（2ⁿ，0）；②當(dāng)n=8k+1或n=8k+3或n=8k+5或n=8k+7時（其中k為自然數(shù)），點(diǎn)P_n落在各象限的平分線上，此時，點(diǎn)P_n的絕對坐標(biāo)為（

2

2

×2ⁿ，

2

2

×2ⁿ）；③當(dāng)n=8k+2或n=8k+6時（其中k為自然數(shù)），點(diǎn)P_n落在y軸上，此時，點(diǎn)P_n的絕對坐標(biāo)為（0，2ⁿ）．

解答：解：
（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)規(guī)律，點(diǎn)P₆落在y軸的負(fù)半軸，而點(diǎn)P_n到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離始終等于前一個點(diǎn)到原點(diǎn)距離的2倍，故其坐標(biāo)為P₆（0，-2⁶），即P₆（0，-64）；

（2）由已知可得，△P₀OP₁∽△P₁OP₂∽△P_n-1OP_n．
設(shè)P₁（x₁，y₁），則y₁=2sin45°=

2

，
∴S△P0OP1=

1

2

×1×

2

=

2

2

，
又∵

OP6

OP1

=32，
∴

S△P5OP6

S△P0OP1

=(

32

1

)2=1024，
∴S△P5OP6=1024×

2

2

=512

2

；

（3）由題意知，OP₀旋轉(zhuǎn)8次之后回到x軸正半軸，在這8次中，點(diǎn)P_n分別落在坐標(biāo)象限的平分線上或x軸或y軸上，但各點(diǎn)絕對坐標(biāo)的橫、縱坐標(biāo)均為非負(fù)數(shù)，因此，點(diǎn)P_n的坐標(biāo)可分三類情況：令旋轉(zhuǎn)次數(shù)為n，
①當(dāng)n=8k或n=8k+4時（其中k為自然數(shù)），點(diǎn)P_n落在x軸上，此時，點(diǎn)P_n的絕對坐標(biāo)為（2ⁿ，0）；
②當(dāng)n=8k+1或n=8k+3或n=8k+5或n=8k+7時（其中k為自然數(shù)），點(diǎn)P_n落在各象限的平分線上，此時，點(diǎn)P_n的絕對坐標(biāo)為（

2

2

×2ⁿ，

2

2

×2ⁿ），即（2^n-1

2

，2^n-1

2

）；
③當(dāng)n=8k+2或n=8k+6時（其中k為自然數(shù)），點(diǎn)P_n落在y軸上，
此時，點(diǎn)P_n的絕對坐標(biāo)為（0，2ⁿ）．

點(diǎn)評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后的兩個圖形全等，對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．也考查了三角形相似的判定與性質(zhì)以及各象限和坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)．