如圖,拋物線的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn).
(1)求A、B、C的坐標(biāo);
(2)點(diǎn)M為線段AB上一點(diǎn)(點(diǎn)M不與點(diǎn)A、B重合),過點(diǎn)M作x軸的垂線,與直線AC交于點(diǎn)E,與拋物線交于點(diǎn)P,過點(diǎn)P作PQ∥AB交拋物線于點(diǎn)Q,過點(diǎn)Q作QN⊥x軸于點(diǎn)N.若點(diǎn)P在點(diǎn)Q左邊,當(dāng)矩形PQMN的周長最大時(shí),求△AEM的面積;
(3)在(2)的條件下,當(dāng)矩形PMNQ的周長最大時(shí),連接DQ.過拋物線上一點(diǎn)F作y軸的平行線,與直線AC交于點(diǎn)G(點(diǎn)G在點(diǎn)F的上方).若FG=DQ,求點(diǎn)F的坐標(biāo).

(1)A(-3,0),B(1,0),C(0,3); (2);(3)或(1,0).

解析試題分析:(1)依據(jù)拋物線的解析式直接求得C的坐標(biāo),令y=0解方程即可求得A、B點(diǎn)的坐標(biāo).
(2)求出矩形PQMN的周長關(guān)于點(diǎn)M橫坐標(biāo)的解析式,應(yīng)用二次函數(shù)最值原理求出矩形PQMN的周長時(shí)點(diǎn)M橫坐標(biāo)的值,求出此時(shí)△AEM的面積.
(3)根據(jù)FG=DQ列關(guān)于點(diǎn)F橫坐標(biāo)的方程求解即可.
試題解析:(1)由拋物線的解析式,∴C(0,3).
令y=0,-x2+2x+3=0,解得x=-3或x=1.∴A(-3,0),B(1,0).
(2)∵,∴對(duì)稱軸為x=-1.
設(shè),其中.
∵點(diǎn)P、Q關(guān)于直線x=-1對(duì)稱,設(shè)點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為a,
,∴.∴.

∴矩形PQMN的周長.
∴當(dāng)x=-2時(shí),矩形PQMN的周長d最大.
此時(shí) .
設(shè)直線AC的解析式為,則,解得.
∴直線AC的解析式為.
將x=-2代入,得y=1,∴.
.
(3)由(2)知,當(dāng)矩形PQMN的周長最大時(shí),x=-2,
此時(shí),,與點(diǎn)C重合,∴OQ=3.
.
如圖,過點(diǎn)D作DK⊥y軸于點(diǎn)K,則DK=1,OK=4,∴QK=OK-OQ=4-3=1.
∴△DKQ是等腰直角三角形,.
.
設(shè),則
,解得.
當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為或(1,0).

考點(diǎn):1.二次函數(shù)綜合題;2.單動(dòng)點(diǎn)問題;3.曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系;4.三角形面積的確定;5.二次函數(shù)最值的應(yīng)用;6.數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,已知二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)O(0,0),A(4,0),B(2,﹣),M是OA的中點(diǎn).
(1)求此二次函數(shù)的解析式;
(2)設(shè)P是拋物線上的一點(diǎn),過P作x軸的平行線與拋物線交于另一點(diǎn)Q,要使四邊形PQAM是菱形,求P點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)將拋物線在x軸下方的部分沿x軸向上翻折,得曲線OB′A(B′為B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)),在原拋物線x軸的上方部分取一點(diǎn)C,連接CM,CM與翻折后的曲線OB′A交于點(diǎn)D.若△CDA的面積是△MDA面積的2倍,這樣的點(diǎn)C是否存在?若存在求出C點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

拋物線軸交于點(diǎn)A,B,與y軸交于點(diǎn)C,其中點(diǎn)B的坐標(biāo)為.
(1)求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式;]
(2)將(1)中的拋物線沿對(duì)稱軸向上平移,使其頂點(diǎn)M落在線段BC上,記該拋物線為G,求拋物線G所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式;
(3)將線段BC平移得到線段(B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為),使其經(jīng)過(2)中所得拋物線G的頂點(diǎn)M,且與拋物線G另有一個(gè)交點(diǎn)N,求點(diǎn)到直線的距離的取值范圍.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線 (b,c為常數(shù))的頂點(diǎn)為P,等腰直角三角形ABC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,–1),C的坐標(biāo)為(4,3),直角頂點(diǎn)B在第四象限.
(1)如圖,若該拋物線過A,B兩點(diǎn),求b,c的值;
(2)平移(1)中的拋物線,使頂點(diǎn)P在直線AC上滑動(dòng),且與直線AC交于另一點(diǎn)Q.
①點(diǎn)M在直線AC下方,且為平移前(1)中的拋物線上的點(diǎn),當(dāng)以M,P,Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是以PQ為腰的等腰直角三角形時(shí),求點(diǎn)M的坐標(biāo);
②取BC的中點(diǎn)N,連接NP,BQ.當(dāng)取最大值時(shí),點(diǎn)Q的坐標(biāo)為________.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,已知拋物線為常數(shù),且)與軸從左至右依次交于A,B兩點(diǎn),與軸交于點(diǎn)C,經(jīng)過點(diǎn)B的直線與拋物線的另一交點(diǎn)為D.
(1)若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為-5,求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)若在第一象限的拋物線上有點(diǎn)P,使得以A,B,P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似,求的值;
(3)在(1)的條件下,設(shè)F為線段BD上一點(diǎn)(不含端點(diǎn)),連接AF,一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā),沿線段AF以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到F,再沿線段FD以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到D后停止. 當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)是多少時(shí),點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中用時(shí)最少?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知直角坐標(biāo)系中有一點(diǎn)A(-4,3),點(diǎn)B在x軸上,△AOB是等腰三角形。
(1)求滿足條件的所有點(diǎn)B的坐標(biāo)。(直接寫出答案)
(2)求過O、A、B三點(diǎn)且開口向下的拋物線的函數(shù)解析式。(只需求出滿足條件的即可)。
(3)在(2)中求出的拋物線上存在點(diǎn)p,使得以O(shè)、A、B、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是梯形,求滿足條件的所有點(diǎn)P的坐標(biāo)及相應(yīng)梯形的面積。

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,矩形ABCD中,AB=20,BC=10,點(diǎn)P為AB邊上一動(dòng)點(diǎn),DP交AC于點(diǎn)Q.
(1)求證:△APQ∽△CDQ;
(2)P點(diǎn)從A點(diǎn)出發(fā)沿AB邊以每秒1個(gè)單位的速度向B點(diǎn)移動(dòng),移動(dòng)時(shí)間為t秒.
①當(dāng)t為何值時(shí),DP⊥AC?
②設(shè),寫出y與t之間的函數(shù)解析式,并探究P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到第幾秒到第幾秒之間時(shí),y取得最小值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖1,拋物線y=-x2+bx+c的頂點(diǎn)為Q,與x軸交于A(-1,0)、B(5,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C.
(1)求拋物線的解析式及其頂點(diǎn)Q的坐標(biāo);
(2)在該拋物線的對(duì)稱軸上求一點(diǎn)P,使得△PAC的周長最小,請(qǐng)?jiān)趫D中畫出點(diǎn)P的位置,并求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)如圖2,若點(diǎn)D是第一象限拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過D作DE⊥x軸,垂足為E.
①有一個(gè)同學(xué)說:“在第一象限拋物線上的所有點(diǎn)中,拋物線的頂點(diǎn)Q與x軸相距最遠(yuǎn),所以當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)Q時(shí),折線D-E-O的長度最長”,這個(gè)同學(xué)的說法正確嗎?請(qǐng)說明理由.
②若DE與直線BC交于點(diǎn)F.試探究:四邊形DCEB能否為平行四邊形?若能,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo);若不能,請(qǐng)簡(jiǎn)要說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

某經(jīng)銷商代理銷售一種手機(jī),按協(xié)議,每賣出一部手機(jī)需另交品牌代理費(fèi)100元,已知該種手機(jī)每部進(jìn)價(jià)800元,銷售單價(jià)為1200元時(shí),每月能賣出100部,市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),若每部手機(jī)每讓利50元,則每月可多售出40部.
(1)若每月要獲取36000元利潤,求讓利價(jià)
(利潤=銷售收入-進(jìn)貨成本-品牌代理費(fèi))
(2)設(shè)讓利x元,月利潤為y元,寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式,并求讓利多少元時(shí),月利潤最大?

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同步練習(xí)冊(cè)答案