Question

（2009•鹽都區(qū)二模）（1）如圖1，在△ABC中，繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)180°后，得到△CA′B′．請(qǐng)先畫出變換后的圖形，寫出下列結(jié)論正確的序號(hào)是______．
①△ABC≌△A′B′C；
②線段AB繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后，得到線段A′B′；
③A′B′∥AB；
④C是線段BB′的中點(diǎn)．
在（1）的啟發(fā)下解答下面問題：
（2）如圖2，在△ABC中，∠BAC=120°，D是BC的中點(diǎn)，射線DF交BA于E，交CA的延長(zhǎng)線于F，請(qǐng)猜想∠F等于多少度時(shí)，BE=CF？（直接寫出結(jié)果，不證明）
（3）如圖3，在△ABC中，如果∠BAC≠120°，而（2）中的其他條件不變，若BE=CF的結(jié)論仍然成立，那么∠BAC與∠F滿足什么數(shù)量關(guān)系（等式表示）并加以證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）通過旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知①②③④正確；
（2）通過正確作圖，使BE=CF，然后進(jìn)行測(cè)量即可進(jìn)行猜想；
（3）通過旋轉(zhuǎn)的方法，作出輔助線，可利用三角形全等或旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到相等的線段，把關(guān)系轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中即可得到需要的條件．
解答：解：
（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，知①②③④都是正確的．

（2）60°．

（3）等量關(guān)系：∠BAC=2∠F．
作△FCD關(guān)于點(diǎn)D的中心對(duì)稱三角形DBF′，則
∠F′=∠F，F(xiàn)C=BF′=BE，∠F′=∠F=∠BED=∠FEA．
∴∠BAC=2∠F．
點(diǎn)評(píng)：本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和中心對(duì)稱的特點(diǎn)．
旋轉(zhuǎn)變化前后，對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變．要注意中心對(duì)稱是旋轉(zhuǎn)的一種特殊情況．