Question

已知二次函數(shù)的圖象過點（4，3），它的頂點坐標是（2，-1）．
（1）求這個二次函數(shù)的關系式；
（2）若二次函數(shù)的圖象與x軸交于點A、B（A在B的左側），與y軸交于點C，線段AC的垂直平分線與x軸交于點D．求：①點D的坐標；②△DBC的外接圓半徑R的值．

Answer 1

解：（1）設這個二次函數(shù)的關系式為：y=a（x-2）²-1，
∵二次函數(shù)的圖象過點（4，3），
∴3=4a-1，
解得：a=1，
∴這個二次函數(shù)的關系式為y=（x-2）²-1；

（2）①∵令x=0，可得y=3，
令y=0，可得：x=1或x=3，
∴點A（1，0），B（3，0），C（0，3），
∵線段AC的垂直平分線與x軸交于點D，
∴AD=CD，
設D（x，0），
則（1-x）²=x²+9，
解得：x=-4，
∴點D的坐標為（-4，0）；

②∵△DBC的外接圓的圓心是△DBC的三邊垂直平分線的交點，
∴點F的橫坐標為=-，
設點F（-，y），
∵FC=FB，
∴+（y-3）²=（3+）²+y²，
解得：y=-，
∴點F（-，-）．
∴R=+（--3）²=．
∴△DBC的外接圓半徑R的值為．
分析：（1）由二次函數(shù)的圖象過點（4，3），它的頂點坐標是（2，-1），設頂點式，利用待定系數(shù)法即可求得此二次函數(shù)的解析式；
（2）①首先由（1）中的解析式，求得點A，B，C的坐標，然后由線段AC的垂直平分線與x軸交于點D，設D（x，0），根據(jù)AD=CD列方程，解方程即可求得點D的坐標；
②由△DBC的外接圓的圓心是△DBC的三邊垂直平分線的交點，首先求得此外接圓的圓心的橫坐標，然后設其坐標為F（-，y），由FC=FB，即可求得y的值，則可得△DBC的外接圓半徑R的值．
點評：此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，垂直平分線的性質，以及三角形外接圓的知識．此題綜合性很強，解題的關鍵是方程思想與數(shù)形結合思想的應用．