Question

在東西方向的海岸線L上有一長為1km的碼頭MN（如圖），在碼頭西端M 的正西19.5km 處有一觀察站A．某時刻測得一艘勻速直線航行的輪船位于 A 的北偏西30°，且與A相距40km的B處；經(jīng)過1小時20分鐘，又測得該輪船位于A的北偏東60°，且與A相距km的C處．
（1）求該輪船航行的速度（保留精確結(jié)果）；
（2）如果該輪船不改變航向繼續(xù)航行，那么輪船能否正好行至碼頭MN靠岸？請說明理由；
（3）根據(jù)（2）的探究過程，請求出要使從B出發(fā)的輪船靠岸，那么輪船的航線y=kx+b的k的取值范圍？（直接寫出答案）

Answer 1

解：（1）∵∠BAD=30°，∠DAC=60°，
∴∠BAC=90°，
∴在Rt△BAC中，BC²=AB²+AC²=40²+（8）²=1792，
∴BC=16，
∴輪船的航行速度為=12（km/h）；

（2）以正東方向所在直線為橫軸，以正北方向所在直線為縱軸，點A為坐標原點，建立平面直角坐標系．作BE⊥x軸于E，則在直角△ABE中，AB=40km，∠BEA=90°，
則AE=AB•cos60°=20，BE=AB•sin60°=20，
則B的坐標是：（-20，20），同理C的坐標是：（12，4），
設(shè)直線BC的解析式是y=kx+b，
則，解得：，
則直線BC的解析式為y=-x+10
令y=0，則x=20，而AM=19.5，
∴20.5＞20＞19.5
∴輪船可以行至碼頭MN靠岸．…

（3）M的坐標是（19.5，0），設(shè)直線BM的解析式是y=kx+b
則，
解得：，
N的坐標是（20.5，0），設(shè)直線BN的解析式是：y═kx+b，
則，
解得：，
則-≤k≤-…．
分析：（1）根據(jù)方向角可以證得△ABC是直角三角形，根據(jù)勾股定理即可求得BC的長，則航速即可求解；
（2）以正東方向所在直線為橫軸，以正北方向所在直線為縱軸，點A為坐標原點，建立平面直角坐標系．即可求得直線BC的解析式，得到BC與河岸的交點，從而確定船是否能到達MN的位置，從而進行判斷；
（3）根據(jù)（2）可以求得M、N的坐標，根據(jù)待定系數(shù)法即可求得BM和BN的解析式，從而求得k的范圍．
點評：本題考查了方向角以及待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，正確建立坐標系，把求線段的長的問題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)問題提現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想．