Question

如圖13，矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E、F分別是OA、OB的中點(diǎn)．

（1）試問(wèn)：△ADE與△BCF全等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由

（2）若AD = 4cm，AB = 8cm，求CF的長(zhǎng)．

                                                               

Answer 1

（1）證明：∵四邊形ABCD為矩形，∴AD＝BC，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD， AD∥BC，

∴OA＝OB＝OC，∠DAE＝∠OCB，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠DAE＝∠CBF．                 

又∵AE＝OA，BF＝OB，∴AE＝BF，∴△ADE≌△BCF．        

（2）解：過(guò)點(diǎn)F作FG⊥CD于點(diǎn)G，則∠DGF＝90º，

∵∠DCB＝90º，∴∠DGF＝∠DCB，又∵∠FDG＝∠BDC

∴△DFG∽△DBC，    

∴．       

 由（1）可知DF＝3FB，得，∴，∴FG＝3，DG＝6，      

∴GC＝DC－DG＝8－6＝2． 

在Rt△FGC中，cm．          

 

（說(shuō)明：還有其他解法，如延長(zhǎng)CF交AB于點(diǎn)H，利用△DFC∽△BFH計(jì)算．）