Question

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC為梯形，且OA=AB=BC=4，∠AOC=60°，垂直于x軸的直線l從y軸出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)（運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C為止）．
（1）求A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）求當(dāng)t=

3

時(shí)，△POQ的面積；
（3）直線l運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，它在梯形內(nèi)掃過(guò)的面積為S，求S和t的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）首先過(guò)點(diǎn)A作AD⊥OC于D，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥OC于E，分別求出AD與DO的長(zhǎng)，即可得出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)t=

3

時(shí)，OQ=

3

PQ=OQ•tan60°=3，即可得出△POQ的面積；
（3）分別對(duì)當(dāng)0≤t≤2時(shí)，以及當(dāng)2＜t≤6時(shí)和當(dāng)6＜t≤8時(shí)進(jìn)行分析得出函數(shù)關(guān)系式即可．

解答：解：（1）過(guò)點(diǎn)A作AD⊥OC于D，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥OC于E，
則AD=OA•sin60°=2

3

，OD=OA•cos60°=2，
∴OE=2+4=6，
∴A(2，2

3

)，B(6，2

3

)；

（2）當(dāng)t=

3

時(shí)，OQ=

3

PQ=OQ•tan60°=3，
∴S_△POQ=

1

2

OQ•PQ=

3 3

2

；

（3）由已知得OQ=t，
當(dāng)0≤t≤2時(shí)，點(diǎn)P在OA上，PQ=OQ•tan60o=

3

t，
∴S=

1

2

OQ•PQ=

1

2

t•

3

t=

3

2

t2，
當(dāng)2＜t≤6時(shí)，點(diǎn)P在AB上，
由已知得AP=t-2，
∴S=

1

2

（AP+OQ）•AD=

1

2

（t-2+t）×2

3

=2

3

t-2

3

，
當(dāng)6＜t≤8時(shí)，點(diǎn)P在BC上，
由已知得CQ=8-t，
∴PQ=CQ•tan60o=

3

(8-t)，
∴S=SOABC-S△PCQ=

1

2

(4+8)•2

3

-

1

2

(8-t)•

3

(8-t)=-

3

2

(t-8)2+12

3

，
∴S=

3 2 t2(0≤t≤2) 2 3 t-2 3 (2＜t≤6) - 3 2 (t-8)2+12 3 (6＜t≤8)

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了一次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及解直角三角形等知識(shí)，注意分段函數(shù)的求法應(yīng)借助于自變量的取值范圍來(lái)確定，根據(jù)自變量的取值范圍分別得出函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵．