方程x2-2x+1=0的根為x1=1,x2=1,則x1+x2=2,x1•x2=1.
方程x2+3x-4=0的根為x1=-4,x2=1,則x1+x2=-3,x1•x2=-4,
方程x2-x-1=0的根為x1=
1+
5
2
,x2=
1-
5
2
,則x1+x2=1,x1•x2=-1
(1)由此可得到什么猜想?你能證明你猜想的結(jié)論嗎?
(2)利用(1)的結(jié)論解決下列問題:
已知α、β是方程x2+(m-2)x+502=0的兩根,求代數(shù)式(502+mα+α2)(502+mβ+β2)的值.
分析:(1)觀察方程的兩根的和與積與方程的系數(shù)之間的關(guān)系,利用系數(shù)表示出兩個根的和與積得到結(jié)論,然后利用求根公式進行證明;
(2)先根據(jù)方程根的定義得出α2+(m-2)α+502=0,β2+(m-2)β+502=0,變形之后,再利用(1)的結(jié)論求出即可.
解答:解:(1)猜想:若方程x2+px+q=0(p、q是常數(shù),x是未知數(shù))有兩個根x1、x2,則x1+x2=-p,x1•x2=q.理由如下:
∵方程x2+px+q=0的兩實根是x1=
-p+
p2-4q
2
,x2=
-p-
p2-4q
2
,
∴x1+x2=
-p+
p2-4q
2
+
-p-
p2-4q
2
=
-2p
2
=-p,
x1•x2=
-p+
p2-4q
2
-p-
p2-4q
2
=
p2-(p2-4q)
4
=q;

(2)∵α、β是方程x2+(m-2)x+502=0的兩根,
∴α2+(m-2)α+502=0,β2+(m-2)β+502=0,
∴α2+mα=2α-502,β2+mβ=2β-502,
又由(1)知,α+β=2-m,αβ=502,
∴(502+mα+α2)(502+mβ+β2)=(502+2α-502)(502+2β-502)=4αβ=2008.
點評:本題考查了學生的閱讀理解能力及知識的遷移能力,實際上考查了根與系數(shù)的關(guān)系,求根公式及方程的解的定義,難度中等.
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