Question

．如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（0,2），點P是x軸上一動點，以線段AP為一邊，在其一側作等邊三角線APQ。當點P運動到原點O處時，記Q得位置為B。
（1）求點B的坐標；
（2）求證：當點P在x軸上運動（P不與Q重合）時，∠ABQ為定值；
（3）是否存在點P，使得以A、O、Q、B為頂點的四邊形是梯形？若存在，請求出P點的坐標；若不存在，請說明理由。

Answer 1

（1）過點B作BC⊥y軸于點C，∵A(0,2)，△AOB為等邊三角形，
∴AB=OB=2，∠BAO=60°，
∴BC=，OC=AC=1，
即B（）
（2）當點P在x軸上運動（P不與O重合）時，不失一般性，
∵∠PAQ==∠OAB=60°，
∴∠PAO=∠QAB，
在△APO和△AQB中，
∵AP=AQ，∠PAO=∠QAB，AO=AB
∴△APO≌△AQB總成立，
∴∠ABQ=∠AOP=90°總成立，
∴當點P在x軸上運動（P不與Q重合）時，∠ABQ為定值90°。
（3）由（2）可知，點Q總在過點B且與AB垂直的直線上，
可見AO與BQ不平行。
①      當點P在x軸負半軸上時，點Q在點B的下方，
此時，若AB∥OQ，四邊形AOQB即是梯形，
當AB∥OQ時，∠BQO=90°，∠BOQ=∠ABO=60°。
又OB=OA=2，可求得BQ=，
由（2）可知，△APO≌△AQB，∴OP=BQ=，
∴此時P的坐標為（）。
②當點P在x軸正半軸上時，點Q在嗲牛B的上方，
此時，若AQ∥OB，四邊形AOQB即是梯形，
當AQ∥OB時，∠ABQ=90°，∠QAB=∠ABO=60°。
又AB= 2，可求得BQ=，
由（2）可知，△APO≌△AQB，∴OP=BQ=，
∴此時P的坐標為（）。
綜上，P的坐標為（）或（）。

略