Question

當(dāng)你進(jìn)入博物館的展覽廳時(shí)，你知道站在何處觀賞最理想？
如圖，設(shè)墻壁上的展品最高處點(diǎn)P距離地面a米，最低處點(diǎn)Q距離地面b米，觀賞者的眼睛點(diǎn)E距離地面m米，當(dāng)過(guò)P、Q、E三點(diǎn)的圓與過(guò)點(diǎn)E的水平線相切于點(diǎn)E時(shí)，視角∠PEQ最大，站在此處觀賞最理想．
（1）設(shè)點(diǎn)E到墻壁的距離為x米，求a、b、m、x的關(guān)系式；
（2）當(dāng)a=2.5，b=2，m=1.6，求：
（�。�點(diǎn)E和墻壁距離x；
（ⅱ）最大視角∠PEQ的度數(shù)．（精確到1度）

Answer 1

（1）由題意可知：據(jù)PR=a，QR=b，HR=m，HE=x，
∴HQ=QR-HR=b-m，PH=PR-HR=a-m，
∵HE是圓O的切線，
∴HE²=HQ•HP，
∴x²=（a-m）（b-m）．

（2）①根據(jù)（1）中得出的x²=（a-m）（b-m），
∴x²=（2.5-1.6）×（2-1.6）=0.36，
∴x=0.6．
②在直角三角形PHE中，EH=0.6，PH=0.9，
∴tan∠PEH=

PH

EH

=

3

2

，
因此∠PEH≈56.3°；
在直角三角形HQE中，QH=0.4，EH=0.6，
∴tan∠HEQ=

QH

EH

=

2

3

，
因此∠HEQ≈33.7°；
∴∠PEQ=∠PEH-∠HEQ=56.3°-33.7°=22.6°．