Question

如圖，Rt△ABC內接于⊙O，AC=BC，∠BAC的平分線AD與⊙0交于點D，與BC交于點E，延長BD，與AC的延長線交于點F，連接CD，G是CD的中點，連接0G．若OG•DE=3（2-），則⊙O的面積為    ．

Answer 1

【答案】分析：構造等弦的弦心距，運用相似三角形以及勾股定理進行求解．
解答：解：如圖，過點O作BD的垂線，垂足為H，則H為BD的中點．
∴OH=AD，即AD=2OH，
又∵∠CAD=∠BAD?CD=BD，∴OH=OG．
在Rt△BDE和Rt△ADB中，
∵∠DBE=∠DAC=∠BAD，
∴Rt△BDE∽Rt△ADB，
=，即BD²=AD•DE．
BD²=AD•DE=2OG•DE=6（2-）．又BD=FD，
∴BF=2BD，
∴BF²=4BD²=24（2-）①，AC=x，則BC=x，AB=x，
∵AD是∠BAC的平分線，
∴∠FAD=∠BAD．
在Rt△ABD和Rt△AFD中，
∵∠ADB=∠ADF=90°，AD=AD，∠FAD=∠BAD，
∴Rt△ABD≌Rt△AFD（ASA）．
∴AF=AB=BD=FD．
∴CF=AF-AC=x-x=（-1）x．
在Rt△BCF中，由勾股定理，得
BF²=BC²+CF²=x²+[（-1）x]²=2（2-）x²②
由①、②，得2（2-）x2=24（2-），
∴x²=12，解得x=2或-2（舍去），
∴AB=x=•2=2，
∴⊙O的半徑長為．
∴S_⊙O=π•（）²=6π．
故答案為6π．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質、直角三角形斜邊上的中線及圓周角定理等知識，綜合性較強，解題時熟練運用垂徑定理、勾股定理、相似三角形的判定與性質是解決本題的關鍵．