Question

（2013•太原）數(shù)學(xué)活動(dòng)---求重疊部分的面積．
問題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)問題：
如圖1，將兩塊全等的直角三角形紙片△ABC和△DEF疊放在一起，其中∠ACB=∠E=90°，BC=DE=6，AC=FE=8，頂點(diǎn)D與邊AB的中點(diǎn)重合，DE經(jīng)過點(diǎn)C，DF交AC于點(diǎn)G．求重疊部分（△DCG）的面積．

（1）獨(dú)立思考：請(qǐng)回答老師提出的問題．
（2）合作交流：“希望”小組受此問題的啟發(fā)，將△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，使DE⊥AB交AC于點(diǎn)H，DF交AC于點(diǎn)G，如圖2，你能求出重疊部分（△DGH）的面積嗎？請(qǐng)寫出解答過程．
（3）提出問題：老師要求各小組向“希望”小組學(xué)習(xí)，將△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，再提出一個(gè)求重疊部分面積的問題．
“愛心”小組提出的問題是：如圖3，將△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，DE，DF分別交AC于點(diǎn)M，N，使DM=MN，求重疊部分（△DMN）的面積．
任務(wù)：①請(qǐng)解決“愛心”小組提出的問題，直接寫出△DMN的面積是

75

16

．
②請(qǐng)你仿照以上兩個(gè)小組，大膽提出一個(gè)符合老師要求的問題，并在圖4中畫出圖形，標(biāo)明字母，不必解答（注：也可在圖1的基礎(chǔ)上按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)）．

Answer 1

分析：（1）確定點(diǎn)G為AC的中點(diǎn)，從而△ADC為等腰三角形，其底邊AC=8，底邊上的高GD=

1

2

BC=3，從而面積可求；
（2）本問解法有多種，解答中提供了三種不同的解法．基本思路是利用相似三角形、勾股定理求解；
（3）①對(duì)于愛心小組提出的問題，如答圖4所示，作輔助線，利用相似三角形、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)，列方程求解；
②本問要求考生自行提出問題，答案不唯一，屬于開放性問題．

解答：解：（1）【獨(dú)立思考】
∵∠ACB=90°，D是AB的中點(diǎn)，
∴DC=DA=DB，∴∠B=∠DCB．
又∵△ABC≌△FDE，∴∠FDE=∠B．
∴∠FDE=∠DCB，∴DG∥BC．
∴∠AGD=∠ACB=90°，∴DG⊥AC．
又∵DC=DA，∴G是AC的中點(diǎn)，
∴CG=

1

2

AC=

1

2

×8=4，DG=

1

2

BC=

1

2

×6=3，
∴S_△DGC=

1

2

CG•DG=

1

2

×4×3=6．

（2）【合作交流】
解法一：如下圖所示：

∵△ABC≌△FDE，∴∠B=∠1．
∵∠C=90°，ED⊥AB，
∴∠A+∠B=90°，∠A+∠2=90°，
∴∠B=∠2，∴∠1=∠2，
∴GH=GD．
∵∠A+∠2=90°，∠1+∠3=90°，
∴∠A=∠3，∴AG=GD，
∴AG=GH，即點(diǎn)G為AH的中點(diǎn)．
在Rt△ABC中，AB=

AC2+BC2

=

82+62

=10，
∵D是AB中點(diǎn)，∴AD=

1

2

AB=5．
在△ADH與△ACB中，∵∠A=∠A，∠ADH=∠ACB=90°，
∴△ADH∽△ACB，∴

AD

AC

=

DH

CB

，即

5

8

=

DH

6

，解得DH=

15

4

，
∴S_△DGH=

1

2

S_△ADH=

1

2

×

1

2

×DH•AD=

1

4

×

15

4

×5=

75

16

．
解法二：同解法一，G是AH的中點(diǎn)．
連接BH，∵DE⊥AB，D是AB中點(diǎn)，

∴AH=BH．設(shè)AH=x，則CH=8-x．
在Rt△BCH中，CH²+BC²=BH²
即：（8-x）²+36=x²，解得x=

25

4

．
∴S_△ABH=

1

2

AH•BC=

1

2

×

25

4

×6=

75

4

．
∴S_△DGH=

1

2

S_△ADH=

1

2

×

1

2

S_△ABH=

1

4

×

75

4

=

75

16

．
解法三：同解法一，∠1=∠2．
連接CD，由（1）知，∠B=∠DCB=∠1，
∴∠1=∠2=∠B=∠DCB．
∴△DGH∽△BDC．
過點(diǎn)D作DM⊥AC于點(diǎn)M，CN⊥AB于點(diǎn)N．

∵D是AB的中點(diǎn)，∠ACB=90°，
∴CD=AD=BD，∴點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，
∴DM=

1

2

BC=

1

2

×6=3．
在Rt△ABC中，AB=

AC2+BC2

=

82+62

=10，

1

2

AC•BC=

1

2

AB•CN，
∴CN=

AC•BC

AB

=

8×6

10

=

24

5

．
∵△DGH∽△BDC，
∴

S△DGH

S△BDC

=(

DM

CN

)2，
∴S_△DGH=(

DM

CN

)2•S_△BDC=(

DM

CN

)2•

1

2

BD•CN
∴S_△DGH=(

3

24 5

)2×

1

2

×5×

24

5

=

75

16

．

（3）【提出問題】
①解決“愛心”小組提出的問題．
如答圖4，過點(diǎn)D作DK⊥AC于點(diǎn)K，則DK∥BC，
又∵點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，
∴DK=

1

2

BC=3．

∵DM=MN，∴∠MND=∠MDN，由（2）可知∠MDN=∠B，
∴∠MND=∠B，又∵∠DKN=∠C=90°，
∴△DKN∽△ACB，
∴

KN

BC

=

DK

AC

，即

KN

6

=

3

8

，得KN=

9

4

．
設(shè)DM=MN=x，則MK=x-

9

4

．
在Rt△DMK中，由勾股定理得：MK²+DK²=MD²，
即：（x-

9

4

）²+3²=x²，解得x=

25

8

，
∴S_△DMN=

1

2

MN•DK=

1

2

×

25

8

×3=

75

16

．
②此題答案不唯一，示例：如答圖5，將△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，使DE⊥BC于點(diǎn)M，DF交BC于點(diǎn)N，求重疊部分（四邊形DMCN）的面積．

點(diǎn)評(píng)：本題是幾何綜合題，考查了相似三角形、全等三角形、等腰三角形、勾股定理、圖形面積計(jì)算、解方程等知識(shí)點(diǎn)．題干信息量大，篇幅較長(zhǎng)，需要認(rèn)真讀題，弄清題意與作答要求．試題以圖形旋轉(zhuǎn)為背景，在旋轉(zhuǎn)過程中，重疊圖形的形狀與面積不斷發(fā)生變化，需要靈活運(yùn)用多種知識(shí)予以解決，有利于培養(yǎng)同學(xué)們的研究與探索精神，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，是一道好題．