Question

如圖：已知，四邊形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，已知AB=5，BC=6，cosB=

3

5

，點O為BC邊上的一個動點，連接OD，以O(shè)為圓心，BO為半徑的⊙O分別交邊AB于點P，交線段OD于點M，交射線BC于點N，連接MN．
（1）當(dāng)BO=AD時，求BP的長；
（2）點O運動的過程中，是否存在BP=MN的情況？若存在，請求出當(dāng)BO為多長時BP=MN；若不存在，請說明由；
（3）在點O運動的過程中，以點C為圓心，CN為半徑作⊙C，請直接寫出當(dāng)⊙C存在時，⊙O與⊙C的位置關(guān)系，以及相應(yīng)的⊙C半徑CN的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）過點A作AE⊥BC，在⊙O中，過點O作OH⊥AB，則四邊形ADCE是矩形，可由余弦的概念，求得AE，則有AD=CE=BC-BE，而得到BO=AD的值，由垂徑定理知，PH=BH，由BH：OB=cosB，求得BH，即有PB=2BH；
（2）用反證法，證明不存在BP=MN；
（3）由題意知，當(dāng)點N在BC上時，⊙C與⊙O外切，有

7

3

＜CN＜6=BC，當(dāng)點N在BC的延長線上時，⊙C與⊙O內(nèi)切，由于點這在AB上，BP的最大值為5，則可利用余弦的概念，求得圓O的直徑為

25

3

，故0＜CN≤

25

3

-6=

7

3

．

解答：解：（1）過點A作AE⊥BC
在Rt△ABE中，由AB=5，cosB=

3

5

，得BE=3
∵CD⊥BC，AD∥BC，BC=6
∴AD=EC=BC-BE=3
當(dāng)BO=AD=3時，在⊙O中，過點O作OH⊥AB，則BH=HP，
∵

BH

BO

=cosB
∴BH=3×

3

5

=

9

5

∴BP=

18

5

（2）不存在BP=MN的情況．
假設(shè)BP=MN成立，
因為BP和MN為⊙O的弦，則必有∠BOP=∠DOC，
過P作PQ⊥BC，過點O作OH⊥AB，
∵CD⊥BC，則有△PQO∽△DCO
設(shè)BO=x，則PO=x，OC=6-x，
由

BH

x

=cosB=

3

5

，得BH=

3

5

x，
∴BP=2BH=

6

5

x
∴BQ=BP×cosB=

18

25

x，PQ=

24

25

x
∴OQ=x-

18

25

x=

7

25

x
∵△PQO∽△DCO
∴

PQ

OQ

=

DC

OC

，即

24 25 x

7 25 x

=

4

6-x

得x=

29

6

當(dāng)x=

29

6

時，BP=

6

5

x=

29

5

＞5，與點P應(yīng)在邊AB上不符，
∴不存在BP=MN的情況．

（3）情況一：⊙O與⊙C相外切，此時0＜CN＜6；
情況二：⊙O與⊙C相內(nèi)切，此時0＜CN≤

7

3

．

點評：本題利用了余弦的概念、矩形的性質(zhì)、垂徑定理、直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、圓與圓的位置關(guān)系求解．