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5.如圖1,拋物線y=33x2-233x-3與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側(cè)),交y軸于點C.連接AC,過點A作AC的垂線交拋物線的對稱軸于點D.

(1)求點D的坐標;
(2)點P為直線AD下方拋物線上一動點,當△PAD面積最大時,作PE⊥x軸于點E,連接AP,點M、N分別為線段AP、AE上的兩個動點,求EM+MN的最小值;
(3)如圖2,拋物線的頂點為點Q,平移拋物線,使拋物線的頂點Q在直線AQ上移動,點A、Q平移后的對應(yīng)點分別為點A′、Q′.在平面內(nèi)有一動點G,當以點A′,Q′,B,G為頂點的四邊形為平行四邊形時,找出滿足條件的所有點G為頂點的多邊形是軸對稱圖形時,點Q′的坐標.

分析 (1)首先求出A、B、C的坐標,在Rt△ADH中,由∠DAH=30°,AH=2,求出DH即可解決問題.
(2)如圖2中,過點A作y軸的平行線,過點D作x軸的平行線,兩直線交于點G,易知G(-1,233),設(shè)P(m,33m2-233m-3),根據(jù)S△PAD=S△AGP+S△DGP-S△AGD構(gòu)建二次函數(shù),利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出點P以及點E的坐標,如圖3中,E(32,0),作等E關(guān)于直線PA的對稱點E′,EE′交AP于K,作EN⊥x軸于N,交AP于M,連接EM,根據(jù)此線段最短可知,此時EM+MN最短,最小值=E′M+MN=E′N,求出點E′的坐標即可解決問題.
(3)如圖4中,由題意,Q(1,-433),作BH⊥AQ于H,求得點H坐標(57,-837),首先判斷點G的位置,根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì),判斷出點Q的位置,一一求解即可.

解答 解:(1)如圖1中,設(shè)對稱軸交AB于H.

對于拋物線y=33x2-233x-3令x=0得y=-3;令y=0得33x2-233x-3=0解得x=-1或3,
∴C(0,-3),A(-1,0),B(3,0),
∴OA=1,OC=3
∴tan∠OAC=OCOA=3,
∴∠OAC=60°,
∵AD⊥AC,
∴∠DAC=90°,∠DAH=30°,
∵拋物線的對稱軸x=-2a=1,
∴AH=2,DH=AH•tan30°=233,
∴D(1,233).

(2)如圖2中,過點A作y軸的平行線,過點D作x軸的平行線,兩直線交于點G,易知G(-1,233),設(shè)P(m,33m2-233m-3),

∵S△PAD=S△AGP+S△DGP-S△AGD
=12233•(1+m)+12•2•(233-33m2+233m+3)-12•2•233
=-33(m-322+25312
∵-33<0,
∴m=32時,△PAD的面積最大,此時P(32,-543),
如圖3中,E(32,0),作等E關(guān)于直線PA的對稱點E′,EE′交AP于K,

∵直線PA的解析式為y=-32x-32,直線EE′的解析式為y=233x-3,
{y=32x32y=233x3,解得{x=37y=573,
∴點K的坐標(37,-573),
∵EK=KE′,
∴E′(-914,-1073
作EN⊥x軸于N,交AP于M,連接EM,
根據(jù)此線段最短可知,此時EM+MN最短,最小值=E′M+MN=E′N=1037

(3)如圖4中,BG1=BG2=AQ,且BG1∥AQ,G1、G2是滿足條件的點,

當A1Q1為平行四邊形的對角線時,點G的軌跡是圖中的直線,
當BG3⊥AQ時,得Q1滿足條件,
當G4G2⊥AQ時,得Q2滿足條件,
當G5G1⊥AQ時,得Q3滿足條件,
當G3G2=G1G2時,G3G2交AQ于Q4,Q4滿足條件,
當G1G3=G1G2時,G3G1與AQ的交于點Q5,Q5也滿足條件,
由題意,Q(1,-433),以點A′,Q′,B,G為頂點的四邊形必須是矩形或菱形,
∴直線AQ的解析式為y=-233x-233,作BH⊥AQ于H,
可得直線BH的解析式為y=32x-332,
{y=233x233y=32x332解得{x=57y=837
∴點H坐標(57,-837),
易知Q1127,-38213),Q2197,-2473),Q3(-97,0),Q4177,-1673),Q5(1,-433).

綜上所述,滿足條件的點Q′的坐標Q1127,-38213),Q2197,-2473),Q3(-97,0),Q4177,-1673),Q5(1,-433).

點評 本題考查二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)的應(yīng)用、銳角三角函數(shù)、垂線段最短、平行四邊形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)等知識,解題的關(guān)鍵是學(xué)會構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問題,學(xué)會利用垂線段最短解決最短問題,學(xué)會尋找特殊點解決實際問題,屬于中考壓軸題.

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已知:如圖②,△ABC和△DEF,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B、∠E都是鈍角,
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