Question

5．如圖1，拋物線y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C．連接AC，過(guò)點(diǎn)A作AC的垂線交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)D．

（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)P為直線AD下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PAD面積最大時(shí)，作PE⊥x軸于點(diǎn)E，連接AP，點(diǎn)M、N分別為線段AP、AE上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求EM+MN的最小值；
（3）如圖2，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)Q，平移拋物線，使拋物線的頂點(diǎn)Q在直線AQ上移動(dòng)，點(diǎn)A、Q平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)A′、Q′．在平面內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)G，當(dāng)以點(diǎn)A′，Q′，B，G為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時(shí)，找出滿足條件的所有點(diǎn)G為頂點(diǎn)的多邊形是軸對(duì)稱圖形時(shí)，點(diǎn)Q′的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）首先求出A、B、C的坐標(biāo)，在Rt△ADH中，由∠DAH=30°，AH=2，求出DH即可解決問(wèn)題．
（2）如圖2中，過(guò)點(diǎn)A作y軸的平行線，過(guò)點(diǎn)D作x軸的平行線，兩直線交于點(diǎn)G，易知G（-1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），設(shè)P（m，$\frac{\sqrt{3}}{3}$m²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$m-$\sqrt{3}$），根據(jù)S_△PAD=S_△AGP+S_△DGP-S_△AGD構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出點(diǎn)P以及點(diǎn)E的坐標(biāo)，如圖3中，E（$\frac{3}{2}$，0），作等E關(guān)于直線PA的對(duì)稱點(diǎn)E′，EE′交AP于K，作EN⊥x軸于N，交AP于M，連接EM，根據(jù)此線段最短可知，此時(shí)EM+MN最短，最小值=E′M+MN=E′N，求出點(diǎn)E′的坐標(biāo)即可解決問(wèn)題．
（3）如圖4中，由題意，Q（1，-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$），作BH⊥AQ于H，求得點(diǎn)H坐標(biāo)（$\frac{5}{7}$，-$\frac{8\sqrt{3}}{7}$），首先判斷點(diǎn)G的位置，根據(jù)軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，判斷出點(diǎn)Q的位置，一一求解即可．

解答 解：（1）如圖1中，設(shè)對(duì)稱軸交AB于H．

對(duì)于拋物線y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$令x=0得y=-$\sqrt{3}$；令y=0得$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$=0解得x=-1或3，
∴C（0，-$\sqrt{3}$），A（-1，0），B（3，0），
∴OA=1，OC=$\sqrt{3}$，
∴tan∠OAC=$\frac{OC}{OA}$=$\sqrt{3}$，
∴∠OAC=60°，
∵AD⊥AC，
∴∠DAC=90°，∠DAH=30°，
∵拋物線的對(duì)稱軸x=-$\frac{2a}$=1，
∴AH=2，DH=AH•tan30°=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴D（1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）．

（2）如圖2中，過(guò)點(diǎn)A作y軸的平行線，過(guò)點(diǎn)D作x軸的平行線，兩直線交于點(diǎn)G，易知G（-1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），設(shè)P（m，$\frac{\sqrt{3}}{3}$m²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$m-$\sqrt{3}$），

∵S_△PAD=S_△AGP+S_△DGP-S_△AGD
=$\frac{1}{2}$•$\frac{2\sqrt{3}}{3}$•（1+m）+$\frac{1}{2}$•2•（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$m²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$m+$\sqrt{3}$）-$\frac{1}{2}$•2•$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{25\sqrt{3}}{12}$．
∵-$\frac{\sqrt{3}}{3}$＜0，
∴m=$\frac{3}{2}$時(shí)，△PAD的面積最大，此時(shí)P（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{4}$$\sqrt{3}$），
如圖3中，E（$\frac{3}{2}$，0），作等E關(guān)于直線PA的對(duì)稱點(diǎn)E′，EE′交AP于K，

∵直線PA的解析式為y=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，直線EE′的解析式為y=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{\sqrt{3}}{2}x-\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{y=\frac{2\sqrt{3}}{3}x-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{7}}\\{y=-\frac{5}{7}\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)K的坐標(biāo)（$\frac{3}{7}$，-$\frac{5}{7}$$\sqrt{3}$），
∵EK=KE′，
∴E′（-$\frac{9}{14}$，-$\frac{10}{7}$$\sqrt{3}$）
作EN⊥x軸于N，交AP于M，連接EM，
根據(jù)此線段最短可知，此時(shí)EM+MN最短，最小值=E′M+MN=E′N=$\frac{10\sqrt{3}}{7}$．

（3）如圖4中，BG₁=BG₂=AQ，且BG₁∥AQ，G₁、G₂是滿足條件的點(diǎn)，

當(dāng)A₁Q₁為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)G的軌跡是圖中的直線，
當(dāng)BG₃⊥AQ時(shí)，得Q₁滿足條件，
當(dāng)G₄G₂⊥AQ時(shí)，得Q₂滿足條件，
當(dāng)G₅G₁⊥AQ時(shí)，得Q₃滿足條件，
當(dāng)G₃G₂=G₁G₂時(shí)，G₃G₂交AQ于Q₄，Q₄滿足條件，
當(dāng)G₁G₃=G₁G₂時(shí)，G₃G₁與AQ的交于點(diǎn)Q₅，Q₅也滿足條件，
由題意，Q（1，-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$），以點(diǎn)A′，Q′，B，G為頂點(diǎn)的四邊形必須是矩形或菱形，
∴直線AQ的解析式為y=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，作BH⊥AQ于H，
可得直線BH的解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{2\sqrt{3}}{3}x-\frac{2\sqrt{3}}{3}}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}x-\frac{3\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5}{7}}\\{y=-\frac{8\sqrt{3}}{7}}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)H坐標(biāo)（$\frac{5}{7}$，-$\frac{8\sqrt{3}}{7}$），
易知Q₁（$\frac{12}{7}$，-$\frac{38}{21}$$\sqrt{3}$），Q₂（$\frac{19}{7}$，-$\frac{24}{7}$$\sqrt{3}$），Q₃（-$\frac{9}{7}$，0），Q₄（$\frac{17}{7}$，-$\frac{16}{7}$$\sqrt{3}$），Q₅（1，-$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$）．

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)Q′的坐標(biāo)Q₁（$\frac{12}{7}$，-$\frac{38}{21}$$\sqrt{3}$），Q₂（$\frac{19}{7}$，-$\frac{24}{7}$$\sqrt{3}$），Q₃（-$\frac{9}{7}$，0），Q₄（$\frac{17}{7}$，-$\frac{16}{7}$$\sqrt{3}$），Q₅（1，-$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)的應(yīng)用、銳角三角函數(shù)、垂線段最短、平行四邊形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用垂線段最短解決最短問(wèn)題，學(xué)會(huì)尋找特殊點(diǎn)解決實(shí)際問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．