分析 (1)首先求出A、B、C的坐標,在Rt△ADH中,由∠DAH=30°,AH=2,求出DH即可解決問題.
(2)如圖2中,過點A作y軸的平行線,過點D作x軸的平行線,兩直線交于點G,易知G(-1,2√33),設(shè)P(m,√33m2-2√33m-√3),根據(jù)S△PAD=S△AGP+S△DGP-S△AGD構(gòu)建二次函數(shù),利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出點P以及點E的坐標,如圖3中,E(32,0),作等E關(guān)于直線PA的對稱點E′,EE′交AP于K,作EN⊥x軸于N,交AP于M,連接EM,根據(jù)此線段最短可知,此時EM+MN最短,最小值=E′M+MN=E′N,求出點E′的坐標即可解決問題.
(3)如圖4中,由題意,Q(1,-4√33),作BH⊥AQ于H,求得點H坐標(57,-8√37),首先判斷點G的位置,根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì),判斷出點Q的位置,一一求解即可.
解答 解:(1)如圖1中,設(shè)對稱軸交AB于H.
對于拋物線y=√33x2-2√33x-√3令x=0得y=-√3;令y=0得√33x2-2√33x-√3=0解得x=-1或3,
∴C(0,-√3),A(-1,0),B(3,0),
∴OA=1,OC=√3,
∴tan∠OAC=OCOA=√3,
∴∠OAC=60°,
∵AD⊥AC,
∴∠DAC=90°,∠DAH=30°,
∵拋物線的對稱軸x=-2a=1,
∴AH=2,DH=AH•tan30°=2√33,
∴D(1,2√33).
(2)如圖2中,過點A作y軸的平行線,過點D作x軸的平行線,兩直線交于點G,易知G(-1,2√33),設(shè)P(m,√33m2-2√33m-√3),
∵S△PAD=S△AGP+S△DGP-S△AGD
=12•2√33•(1+m)+12•2•(2√33-√33m2+2√33m+√3)-12•2•2√33
=-√33(m-32)2+25√312.
∵-√33<0,
∴m=32時,△PAD的面積最大,此時P(32,-54√3),
如圖3中,E(32,0),作等E關(guān)于直線PA的對稱點E′,EE′交AP于K,
∵直線PA的解析式為y=-√32x-√32,直線EE′的解析式為y=2√33x-√3,
由{y=−√32x−√32y=2√33x−√3,解得{x=37y=−57√3,
∴點K的坐標(37,-57√3),
∵EK=KE′,
∴E′(-914,-107√3)
作EN⊥x軸于N,交AP于M,連接EM,
根據(jù)此線段最短可知,此時EM+MN最短,最小值=E′M+MN=E′N=10√37.
(3)如圖4中,BG1=BG2=AQ,且BG1∥AQ,G1、G2是滿足條件的點,
當A1Q1為平行四邊形的對角線時,點G的軌跡是圖中的直線,
當BG3⊥AQ時,得Q1滿足條件,
當G4G2⊥AQ時,得Q2滿足條件,
當G5G1⊥AQ時,得Q3滿足條件,
當G3G2=G1G2時,G3G2交AQ于Q4,Q4滿足條件,
當G1G3=G1G2時,G3G1與AQ的交于點Q5,Q5也滿足條件,
由題意,Q(1,-4√33),以點A′,Q′,B,G為頂點的四邊形必須是矩形或菱形,
∴直線AQ的解析式為y=-2√33x-2√33,作BH⊥AQ于H,
可得直線BH的解析式為y=√32x-3√32,
由{y=−2√33x−2√33y=√32x−3√32解得{x=57y=−8√37,
∴點H坐標(57,-8√37),
易知Q1(127,-3821√3),Q2(197,-247√3),Q3(-97,0),Q4(177,-167√3),Q5(1,-43√3).
綜上所述,滿足條件的點Q′的坐標Q1(127,-3821√3),Q2(197,-247√3),Q3(-97,0),Q4(177,-167√3),Q5(1,-43√3).
點評 本題考查二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)的應(yīng)用、銳角三角函數(shù)、垂線段最短、平行四邊形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)等知識,解題的關(guān)鍵是學(xué)會構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問題,學(xué)會利用垂線段最短解決最短問題,學(xué)會尋找特殊點解決實際問題,屬于中考壓軸題.
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A. | ax2+bx+c=0 | B. | 2x2-3=2(x+1)2 | C. | (a2+1)x2=0 | D. | 1x=x-2 |
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A. | 29 | B. | 19 | C. | 14 | D. | 7 |
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