Question

圖，正方形中，為的中點，于，交于點，交于點，連接、。有如下結論：①；②；③；④；⑤。其中正確的結論的個數為（ ）

A．2個

B．3個

C．4個

D．5個

Answer 1

C

解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠DAF=∠CDE=90°，
∴∠DEC+∠DCE=90°，
∵DE⊥CE，
∴∠DEC+∠ADF=90°，
∴∠ADF=∠DCE，
在△ADF和△DCE中，
∴△ADF≌△DCE（SAS）；
故①正確；
∴DE=AF，
∵AE=DE，
∴AE=AF，
在△ANF和△ANE中
，
∴△ANF≌△ANE（SAS），
∴NF=NE，
∵NM⊥CE，
∴NE＞MN，
∴NF＞MN，
∴MN=FN錯誤，
故②錯誤；
∴AF=DE，
∵E為AD的中點，
∴AF=AB=CD，
∵AB∥CD，
∴△DCN∽△FNA，
∴CD：AF=CN：AN=2：1，
∴CN=2AN，

故③正確；
連接CF，
設S_△ANF=a，
則S_△ACF=3a，S_△ADN=2a，
∴S_△ACB=6a，
∴S_{四邊形CNFB}=5a，
∴S_△ADN：S_{四邊形CNFB}=2：5，
故④正確．
⑤延長DF與CB交于G，則∠ADF=∠G，

根據②的結論F為AB中點，即AF=BF，
在△DAF與△GBF中，
，
∴△DAF≌△GBF（AAS），
∴BG=AD，又AD=BC，
∴BC=BG，
又∵∠ADF=∠DCE，∠ADF+∠CDM=90°，
∴∠DCE+∠CDM=90°，
∴∠DMC=∠CMG=90°，
∴△CMG是直角三角形，
∴MB=BG=BC（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半），
∴∠G=∠BMF，
因此∠ADF=∠BMF，故選項正確．
所以正確的有①③④⑤共4個．
故選C．