Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P是拋物線：y=x²上的動點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限內(nèi)）．連接 OP，過點(diǎn)0作OP的垂線交拋物線于另一點(diǎn)Q．連接PQ，交y軸于點(diǎn)M．作PA丄x軸于點(diǎn)A，QB丄x軸于點(diǎn)B．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．

（1）如圖1，當(dāng)m=時，

①求線段OP的長和tan∠POM的值；

②在y軸上找一點(diǎn)C，使△OCQ是以O(shè)Q為腰的等腰三角形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）如圖2，連接AM、BM，分別與OP、OQ相交于點(diǎn)D、E．

①用含m的代數(shù)式表示點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

②求證：四邊形ODME是矩形．

Answer 1

考點(diǎn)：

二次函數(shù)綜合題。

專題：

代數(shù)幾何綜合題；分類討論。

分析：

（1）①已知m的值，代入拋物線的解析式中可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；由此確定PA、OA的長，通過解直角三角形易得出結(jié)論．

②題干要求△OCQ是以O(shè)Q為腰的等腰三角形，所以分QO=OC、QC=QO兩種情況來判斷：

QO=QC時，Q在線段OC的垂直平分線上，Q、O的縱坐標(biāo)已知，C點(diǎn)坐標(biāo)即可確定；

QO=OC時，先求出OQ的長，那么C點(diǎn)坐標(biāo)可確定．

（2）①由∠QOP=90°，易求得△QBO∽△MOA，通過相關(guān)的比例線段來表示出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

②在四邊形ODME中，已知了一個直角，只需判定該四邊形是平行四邊形即可，那么可通過證明兩組對邊平行來得證．

解答：

解：（1）①把x=代入 y=x²，得 y=2，∴P（，2），∴OP=

∵PA丄x軸，∴PA∥MO．∴tan∠P0M=tan∠0PA==．

②設(shè) Q（n，n²），∵tan∠QOB=tan∠POM，

∴．∴n=

∴Q（，），∴OQ=．

當(dāng)OQ=OC時，則C₁（0，），C₂（0，）；

當(dāng)OQ=CQ時，則C₃（0，1）．

綜上所述，所求點(diǎn)C坐標(biāo)為：C₁（0，），C₂（0，），C₃（0，1）．

（2）①∵P（m，m²），設(shè) Q（n，n²），∵△APO∽△BOQ，∴

∴，得n=，∴Q（，）．

②設(shè)直線PO的解析式為：y=kx+b，把P（m，m²）、Q（，）代入，得：

解得b=1，∴M（0，1）

∵，∠QBO=∠MOA=90°，

∴△QBO∽△MOA

∴∠MAO=∠QOB，

∴QO∥MA

同理可證：EM∥OD

又∵∠EOD=90°，

∴四邊形ODME是矩形．

點(diǎn)評：

考查了二次函數(shù)綜合題，該題涉及的知識點(diǎn)較多，有：解直角三角形、相似三角形、等腰直角三角形的判定、矩形的判定等重要知識點(diǎn)；（1）②題中，要注意分類進(jìn)行討論，以免出現(xiàn)漏解、錯解的情況．[來源:Z*xx*k.Com]