Question

（2004•宿遷）如圖1，已知⊙O₁、⊙O₂內(nèi)切于點(diǎn)P，⊙O₁的弦AB交⊙O₂于C、D兩點(diǎn)，連接PA、PC、PD、PB，設(shè)PB與⊙O₂交于點(diǎn)E．
（Ⅰ）求證：PA•PE=PC•PD；
（Ⅱ）若將題中“⊙O₁、⊙O₂內(nèi)切于點(diǎn)P”改為“⊙O₁、⊙O₂外切于點(diǎn)P”，其它條件不變，如圖2，那么（Ⅰ）中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）本題要證的實(shí)際是△ADP和△CEP相似．連接CE，已知了∠CEP=∠ADP（圓周角定理），只需再找出一組相等的對(duì)應(yīng)角即可．過P作兩圓的公切線，那么根據(jù)弦切角∠BPG在不同圓中對(duì)應(yīng)的不同的圓周角可得出A=∠ECP，由此可證得兩三角形相似．即可得出要證的結(jié)論；
（2）結(jié)論仍成立，證法和（1）完全一樣．
（本題中也可通過證△ADP∽△CEP，來得出所求的結(jié)論．證法同上面的類似）．
解答：證明：（1）證法一：
過點(diǎn)P作⊙O₁、⊙O₂的公切線FG，連接CE．
在⊙O₁中，∠GPB=∠A，
在⊙O₂中，∠GPB=∠ECP，
∴∠A=∠ECP．
又∵∠ADP=∠CEP，
∴△ADP∽△CEP．
∴．
即PA•PE=PD•PC；
證法二：
過點(diǎn)P作⊙O₁、⊙O₂的公切線FG，
連接DE．
在⊙O₁中，∠GPB=∠A，
在⊙O₂中，∠GPB=∠EDP，
又∵四邊形CDEP為⊙O₂的內(nèi)接四邊形，
∴∠ACP=∠DEP．
∴△ACP∽△DEP．
∴．
即PA•PE=PD•PC；

（II）結(jié)論仍然成立．
證法一：
過點(diǎn)P作⊙O₁、⊙O₂的內(nèi)公切線FG，
連接CE．
在⊙O₁中，∠FPB=∠A，
在⊙O₂中，∠GPE=∠PCE，
而∠GPE=∠FPB，
∴∠A=∠PCE．
又∵∠ADP=∠CEP，
∴△ADP∽△CEP．
∴．
即PA•PE=PD•PC；
證法二：
過點(diǎn)P作⊙O₁、⊙O₂的內(nèi)公切線FG，
連接DE．
在⊙O₁中，∠FPB=∠A，
在⊙O₂中，∠GPE=∠PDE，
而∠GPE=∠FPB，
∴∠A=∠PDE．
又∵∠ACP=∠DEP，
∴△ACP∽△DEP．
∴．
即PA•PE=PD•PC．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓與圓的位置關(guān)系，弦切角定理等知識(shí)點(diǎn)．
通過作兩圓的公切線來證與所求線段相關(guān)的三角形相似是解題的關(guān)鍵．