Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=6米，BC=8米，動點P以2米/秒的速度從點A出發(fā)，沿AC向點C移動，同時動點O以1米/秒的速度從點C出發(fā)，沿CB向點B移動，設(shè)P、O兩點移動t秒（0＜t＜5）后，四邊形ABOP的面積為S平方米．
（1）求cos∠ACB的值；
（2）求面積S與時間t的關(guān)系式；
（3）在P、O兩點移動的過程中，能否使△CPO與△ABC相似？若能，求出此時點P的位置；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用解直角三角形的性質(zhì)，cos∠ACB等于∠ACB的鄰邊除以斜邊得出即可；
（2）首先表示出△POC的面積，再利用△ABC減去△POC的面積即可得出答案．
（3）根據(jù)△CPO與△ABC相似，則要考慮以下2種情況：①∠POC=90°，②∠OPC=90°，分別求出即可．

解答：解：（1）∵在矩形ABCD中，AB=6米，BC=8米，
∴AC=

62+82

=10m，
∴cos∠ACB=

BC

AC

=

8

10

=

4

5

，

（2）過點P作PF⊥BC，
∴PF∥AB，
∴

PC

AC

=

PF

AB

，
∵動點P以2米/秒的速度從點A出發(fā)，沿AC向點C移動，同時動點O以1米/秒的速度從點C出發(fā)，
∴

10-2t

10

=

PF

6

，
∴PF=

30-6t

5

，
∴S_△POC=

1

2

×t×

30-6t

5

=

15t-3t2

5

，
∴四邊形ABOP的面積為：S=

1

2

×6×8-

15t-3t2

5

=

3

5

t²-3t+24；

（3）若△CPO與△ABC相似，則有以下2種情況：
①∠POC=90°
∵∠ABC=90°，
∴PO∥AB，
∴

CO

BC

=

PC

AC

，
∴

t

8

=

10-2t

10

，
解得：t=

40

13

，
此時，PO=

3

5

(10-2t)=

30

13

，OB=8-t=

64

13

，
以B為原點，
∴P(

64

13

，

30

13

)；
②∠OPC=90°
過P作OP⊥AC于P，
∴

PC

BC

=

OC

AC

，
∴

10-2t

8

=

t

10

解得，t=

25

7

，
此時，PE=

3

5

(10-2t)=

12

7

，BE=8-t=

31

7

以B為原點，∴P(

31

7

，

12

7

)，
綜上所述，滿足條件的P點的坐標為 (

64

13

，

30

13

)或 (

31

7

，

12

7

)．

點評：此題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理、三角形的面積計算、點的坐標等知識點，要注意第三問中，要分對應(yīng)角的不同來得出不同的對應(yīng)線段成比例，從而得出運動時間的值．不要忽略掉任何一種情況．