Question

自選題：若P為△ABC所在平面上一點，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，則點P叫做△ABC的費馬點．
（1）若點P為銳角△ABC的費馬點，且∠ABC=60°，PA=3，PC=4，則PB的值為______；
（2）如圖，在銳角△ABC外側(cè)作等邊△ACB′連接BB′．求證：BB′過△ABC的費馬點P，且BB′=PA+PB+PC．

Answer 1

解：（1）∵∠PAB+∠PBA=180°-∠APB=60°，
∠PBC+∠PBA=∠ABC=60°，
∴∠PAB=∠PBC，
又∵∠APB=∠BPC=120°，
∴△ABP∽△BCP，
∴，
∴PB²=PA•PC=12，
∴PB=2；


（2）證明：在BB'上取點P，使∠BPC=120°．連接AP，再在PB'上截取PE=PC，連接CE．

∠BPC=120°，
∴∠EPC=60°，
∴△PCE為正三角形，
∴PC=CE，∠PCE=60°，∠CEB'=120°．
∵△ACB'為正三角形，
∴AC=B′C，∠ACB'=60°，
∴∠PCA+∠ACE=∠ACE+∠ECB′=60°，
∴∠PCA=∠ECB′，
∴△ACP≌△B′CE，
∴∠APC=∠B′EC=120°，PA=EB′，
∴∠APB=∠APC=∠BPC=120°，
∴P為△ABC的費馬點．
∴BB'過△ABC的費馬點P，且BB'=EB'+PB+PE=PA+PB+PC．
分析：（1）由題意可得△ABP∽△BCP，所以PB²=PA•PC，即PB=2；
（2）在BB'上取點P，使∠BPC=120°，連接AP，再在PB'上截取PE=PC，連接CE．由此可以證明△PCE為正三角形，再利用正三角形的性質(zhì)得到PC=CE，∠PCE=60°，∠CEB'=120°，而△ACB'為正三角形，由此也可以得到AC=B'C，∠ACB'=60°，現(xiàn)在根據(jù)已知的條件可以證明△ACP≌△B'CE，然后利用全等三角形的性質(zhì)即可證明題目的結(jié)論．
點評：此題考查了等腰三角形與等邊三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和為180°等知識；此類已知三角形邊之間的關(guān)系求角的度數(shù)的題，一般是利用等腰（等邊）三角形的性質(zhì)得出有關(guān)角的度數(shù)，進而求出所求角的度數(shù)．