Question

在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，AB=4，AD=5，CD=5．E為底邊BC上一點(diǎn)，以點(diǎn)E為圓心，BE為半徑畫⊙E交線段DE于點(diǎn)F．
（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)F在線段DE上時(shí)，設(shè)BE=x，DF=y，試建立y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）當(dāng)以CD為直徑的⊙O與⊙E相切時(shí)，求x的值；
（3）連接AF、BF，當(dāng)△ABF是以AF為腰的等腰三角形時(shí)，求x的值．

Answer 1

（1）如圖1，過點(diǎn)D作DG⊥BC于點(diǎn)G．
可得DG=AB=4，BG=AD，GC=3，BC=8，EG=5-x；
在Rt△DEG中，
∴DE²=EG²+DG²，即（x+y）²=4²+（5-x）²；
∴y=

(5-x)2+16

-x（負(fù)值舍去）
定義域：0＜x≤4.1；

（2）設(shè)CD的中點(diǎn)O，連接EO，過點(diǎn)O作OH⊥BC于點(diǎn)H．
OC=

5

2

，OH=2，HC=

3

2

，EH=8-x-

3

2

；
①⊙O與⊙E外切時(shí)，OE=x+

5

2

在Rt△OEH中，OE²=OH²+EH²，
∴2²+（8-x-

3

2

）²=（x+

5

2

）²
∴4+x²-13x+

169

4

=x²+5x+

25

4

，
∴18x=40，
化簡并解得x=

20

9

；
②⊙O與⊙E內(nèi)切時(shí)，OE=|x-

5

2

|
在Rt△OEH中，OE²=OH²+EH²，
∴2²+（8-x-

3

2

）²=（x-

5

2

）²，
∴4+x²-13x+

169

4

=x²-5x+

25

4

，
∴8x=40，
化簡并解得x=5；
綜上所述，當(dāng)⊙O與⊙D相切時(shí)，x=5或

20

9

；

（3）如圖2，連接AF，AE，
當(dāng)AF=AB=4時(shí)，由BE=EF，AE=AE，有△ABE和△AEF全等，
∴∠AFE=∠ABE=90°，即AF⊥DE
在Rt△AFD中，DF=

AD2-AF2

=3；
由y=

(5-x)2+16

-x=3，解得x=2；
如圖3，當(dāng)FA=FB時(shí)，過點(diǎn)F作QF⊥AB于點(diǎn)Q，有AQ=BQ，且AD∥BC∥FQ，
∴DF=EF，y=

(5-x)2+16

-x=x，x=

-5±2 37

3

（負(fù)值舍去）；
綜上所述，當(dāng)△ABF是以AF為腰的等腰三角形時(shí)，
x=2或

-5+2 37

3

．