Question

如圖所示，兩塊完全相同的含30°角的直角三角形疊放在一起，且∠DAB=30°．有以下四個(gè)結(jié)論：
①AF⊥BC；
②△ADG≌△ACF； 
③O為BC的中點(diǎn)； 
④AG：GE=

3

：4
其中正確結(jié)論的序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：①根據(jù)△ADE≌△ACB就可以得出∠D=∠C，∠B=∠E，∠DAE=∠CAB=90°，AD=AC，求出∠AFC=90°就可以得出結(jié)論；
②由∠D=∠C，∠DAB=∠CAF=30°，AD=AC，就可以得出△ADG≌△ACF；
③連接AO，由△ADG≌△ACF就可以得出AG=AF，根據(jù)HL就可以得出△AGO≌△AFO，就有∠GAO=∠FAO，進(jìn)而得出∠CAF=60°，就有△AOC是等邊三角形，就有AC=CO，由AC=

1

2

BC就可以得出OC=

1

2

BC，從而得出結(jié)論；
④由∠E=30°就可以得出AE=2AG，設(shè)AG=a，則AE=2a，由勾股定理可以求出GE=

3

a，就可以得出AG：GE=1：

3

．

解答：解：①∵兩塊完全相同的含30°角的直角三角形疊放在一起，
∴△ADE≌△ACB，
∴∠D=∠C，∠B=∠E，∠DAE=∠CAB=90°，AD=AC．
∴∠DAE-∠BAE=∠CAB-∠BAE，
∴∠DAG=∠CAF=30°
∵∠B=∠E=30°，
∴∠D=∠C=60°．
∴∠AGD=∠AFC=90°，
∴AF⊥BC．故正確；
②在△ADG和△ACF中

∠DAG=∠CAF AD=AC ∠AGD=∠AFC

，
∴△ADG≌△ACF（ASA）故正確；
③連接AO，
∵∠AGD=∠AFC=90°，
∴∠AGO=∠AFO．
∵△ADG≌△ACF，
∴AG=AF．
在Rt△AGO和Rt△AFO中

AO=AO AG=AF

，
∴Rt△AGO≌Rt△AFO（HL），
∴∠GAO=∠FAO．
∵∠DAE=90°，∠DAB=30°，
∴∠GAF=60°，
∴∠GAO=∠FAO=30°，
∴∠OAC=60°，
∴∠AOC=60°，
∴∠OAC=∠AOC=∠C，
∴△AOC是等邊三角形，
∴AC=OC．
∵∠B=30°，∠BAC=90°，
∴AC=

1

2

BC，
∴OC=

1

2

BC，
∴O為BC的中點(diǎn)．故正確；
④∵∠E=30°，
∴AE=2AG．
設(shè)AG=a，則AE=2a，由勾股定理得
GE=

3

a，
∴AG：GE=a：

3

a=1：

3

．故錯(cuò)誤．
∴正確結(jié)論是①②③．
故答案為：①②③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用勾股定理的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵．