Question

如圖（1），△ABC中，AB=AC，∠B=2∠A．

（1）求∠A和∠B的度數(shù)；
（2）如圖（2），BD是△ABC中∠ABC的平分線：
①寫出圖中與BD相等的線段，并說明理由；
②直線BC上是否存在其它的點P，使△BDP為等腰三角形，如果存在，請在圖（3）中畫出滿足條件的所有的點P，并直接寫出相應(yīng)的∠BDP的度數(shù)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵AB=AC，∠B=2∠A
∴AB=AC，∠C=∠B=2∠A
又∵∠C+∠B+∠A=180°
∴5∠A=180°，∠A=36°
∴∠B=72°；

（2）①∵BD是△ABC中∠ABC的平分線
∴∠ABD=∠CBD=36°
∴∠BDC=72°
∴BD=AD=BC；
②當BD是腰時，以B為圓心，以BD為半徑畫弧，交直線BC于點P₁（點C除外）
此時∠BDP=∠DBC=18°．
以D為圓心，以BD為半徑畫弧，交直線BC于點P₃（點C除外）
此時∠BDP=108°．
當BD是底時，則作BD的垂直平分線和BC的交點即是點P₂的一個位置．
此時∠BDP=∠PBD=36°

分析：（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理進行計算；
（2）①結(jié)合（1）中的角的度數(shù)，又可以發(fā)現(xiàn)兩個等腰三角形，即△ABD和△BCD，
②根據(jù)BD是底和BD是腰的時候，進行畫圖．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理進行求解．
點評：本題主要考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)．找著角的關(guān)系利用內(nèi)角和求角度是常用的方法，要熟練掌握．