Question

如圖，點(diǎn)A在x軸正半軸上，OA=2，∠AOB=30°，∠ABO=45°．
（1）畫(huà)出△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°后的圖形；
（2）寫(xiě)出旋轉(zhuǎn)變換后點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′的坐標(biāo)；
（3）求旋轉(zhuǎn)過(guò)程中線段OA、OB所掃過(guò)的重疊部分的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：作圖-旋轉(zhuǎn)變換,扇形面積的計(jì)算,坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)

專(zhuān)題：探究型

分析：（1）根據(jù)題意畫(huà)出△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°后的圖形即可；
（2）分別過(guò)點(diǎn)B、B′作x軸的垂線，垂足分別為D、E，由直角三角形的性質(zhì)可知BD=

1

2

OA，在Rt△OAD中利用勾股定理求出OD的長(zhǎng)，由圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知OB′=OB，∠EOB′=30°，進(jìn)而可得出OE、B′E的長(zhǎng)，求出點(diǎn)B′的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)題意畫(huà)出圖形，發(fā)現(xiàn)扇形A′OF即為線段OA、OB所掃過(guò)的重疊部分，計(jì)算其面積即可．

解答：解：（1）如圖所示：

（2）過(guò)點(diǎn)B′作x軸的垂線，垂足為E，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥OB于點(diǎn)D，
∵∠ABO=45°，
∴AD=BD，
∵∠AOB=30°，
∴AD=BD=

1

2

OA=1，
設(shè)OD=x，
在Rt△OAD中，
OA²=OD²+AD²，即2²=x²+1²，
解得x=

3

，
∴OB=OB′=1+

3

，
∵∠EOB′=180°-∠B′OB-∠AOB=180°-120°-30°=30°，
∴B′E=

1

2

OB′=

1+ 3

2

，OE=

3+ 3

2

，
∴B′（-

3+ 3

2

，

1+ 3

2

）；

（3）∵∠A′OF=120°-30°=90°，
OA′=OA=2，
∴S_扇形A′OF=

90π22

360

=π．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了作圖---旋轉(zhuǎn)變換、扇形面積的計(jì)算、坐標(biāo)與圖形的變化---旋轉(zhuǎn)，利用各特殊角及特殊三角形解答是解題的關(guān)鍵．