Question

9．如圖，G為BC的中點(diǎn)，且DG⊥BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，BE=CF．
（1）求證：AD是∠BAC的平分線；
（2）如果AB=8，AC=6，求AE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）因?yàn)镚為BC的中點(diǎn)，且DG⊥BC，則DG是線段BC的垂直平分線，考慮連接DB、DC，利用線段的垂直平分線的性質(zhì)，又因?yàn)镈E⊥AB，DF⊥AC，可通過(guò)DE=DF說(shuō)明AD是∠BAC的平分線；
（2）先通過(guò)△AED與△ADF的全等關(guān)系，說(shuō)明AE與AF的關(guān)系，利用線段的和差關(guān)系，通過(guò)線段的加減求出AE的長(zhǎng)．

解答 解：（1）連接BD、DC
∵DG⊥BC，G為BC的中點(diǎn)，
∴BD=CD，
∵DG⊥BC，DE⊥AB
∴∠BED=∠CFD，
在Rt△DBE和Rt△DFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{DB=DC}\\{BE=CF}\end{array}\right.$
∴△DBE≌△DFC
∴DE=DF，
∴∠BAD=∠FAD
∴AD是∠BAC的平分線；
（2）∵DE=DF，∠BAD=∠FAD，AD=AD
∴△AED≌△ADF，
∴AE=AF
∵AB=AE+BE，AC=AF-CF，
∴AB+AC=AE+AF，
∵AB=8，AC=6，
∴8+6=2AE，
∴AE=7．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)和判定、角的平分線的性質(zhì)與判定以及三角形的全等．利用線段的和差及等式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．