Question

【題目】已知：如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，∠C=30°，∠ABC=45°，BE是AC邊上的中線．

(1)求證：AC=2BD；

(2)求∠CBE的度數(shù)；

(3)若點E到邊BC的距離為，求BC的長．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)∠CBE=15°；(3)BC=1+．

【解析】

(1)根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AC=2AD，AD=BD，證明結(jié)論；

(2)連接DE，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到DE=EC=AC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)計算即可；

(3)作EF⊥BC于F，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出EC，根據(jù)勾股定理計算，得到答案．

(1)證明：在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠C=30°，

∴AC=2AD，

在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠ABC=45°，

∴AD=BD，

∴AC=2BD；

(2)解：連接DE，

∵∠ADC=90°，BE是AC邊上的中線，

∴DE=EC=AC，

∴DE=DB，∠EDC=∠C=30°，

∴∠EBC=∠EDC=15°；

(3)作EF⊥BC于F，

則EC=2EF=1，

∴AC=2，BD=AD=1，

由勾股定理得，CD==，

∴BC=BD+CD=1+．