Question

（2011•廣州）已知關于x的二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a＞0）的圖象經(jīng)過點C（0，1），且與x軸交于不同的兩點A、B，點A的坐標是（1，0）
（1）求c的值；
（2）求a的取值范圍；
（3）該二次函數(shù)的圖象與直線y=1交于C、D兩點，設A、B、C、D四點構成的四邊形的對角線相交于點P，記△PCD的面積為S₁，△PAB的面積為S₂，當0＜a＜1時，求證：S₁﹣S₂為常數(shù)，并求出該常數(shù)．

Answer 1

（1）解：把C（0，1）代入拋物線得：0=0+0+c，
解得：c=1，
答：c的值是1．
（2）解：把A（1，0）代入得：0=a+b+1，
∴b=﹣1﹣a，
ax²+bx+1=0，
b²﹣4ac=（﹣1﹣a）²﹣4a=a²﹣2a+1＞0，
∴a≠1且a＞0，
答：a的取值范圍是a≠1且a＞0；
（3）證明：∵0＜a＜1，
∴B在A的右邊，
設A（a，0），B（b，0），
∵ax²+（﹣1﹣a）x+1=0，
由根與系數(shù)的關系得：a+b=，ab=，
∴AB=b﹣a==，
把y=1代入拋物線得：ax²+（﹣1﹣a）x+1=1，
解得：x₁=0，x₂=，
∴CD=，
過P作MN⊥CD于M，交X軸于N，
則MN⊥X軸，
∵CD∥AB，
∴△CPD∽△BPA，
∴=，
∴=，
∴PN=，PM=，
∴S₁﹣S₂=••﹣••=1，
即不論a為何只，
S₁﹣S₂的值都是常數(shù)．
答：這個常數(shù)是1．

解析