Question

閱讀下列材料，并解決后面的問題．
在銳角△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c．過A作AD⊥BC于D（如圖），則sinB=

AD

c

，sinC=

AD

b

，即AD=csinB，AD=bsinC，于是csinB=bsinC，即

b

sinB

=

c

sinC

．
同理有

c

sinC

=

a

sinA

，

a

sinA

=

b

sinB

．
所以

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

…（*）
即：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等．
（1）在銳角三角形中，若已知三個(gè)元素a、b、∠A，運(yùn)用上述結(jié)論（*）和有關(guān)定理就可以
求出其余三個(gè)未知元素c、∠B、∠C，請你按照下列步驟填空，完成求解過程：
第一步：由條件a、b、∠A

用關(guān)系式

 

求出

∠B；
第二步：由條件∠A、∠B．

用關(guān)系式

 

求出

∠C；
第三步：由條件．

 

用關(guān)系式

 

求出

c．
（2）一貨貨輪在C處測得燈塔A在貨輪的北偏西30°的方向上，隨后貨輪以28.4海里/時(shí)的速度按北偏東45°的方向航行，半小時(shí)后到達(dá)B處，此時(shí)又測得燈塔A在貨輪的北偏西70°的方向上（如圖），求此時(shí)貨輪距燈塔A的距離AB（結(jié)果精確到0.1．參考數(shù)據(jù)：sin40°=0.643，sin65°=0.90 6，sin70°=0.940，sin75°=0.966）．

Answer 1

分析：（1）只要讀清題意，填寫此問應(yīng)該不難；
（2）本題要構(gòu)建出直角三角形，使得已知和所求的條件都轉(zhuǎn)移到直角三角形中進(jìn)行計(jì)算．

解答：解：（1）

a

sinA

=

b

sinB

，∠A+∠B+∠C=180°，a、∠A、∠C或b、∠B、∠C，

c

sinC

=

a

sinA

或

b

sinB

=

c

sinC

（2）依題意：∠FBC=180°-∠ECB=135°，
∵∠FBA=70°，
∴∠ABC=65°，
∴∠A=180°-∠ACB-∠ABC=40°，BC=14.2．
過B作BD⊥AC于D，
直角三角形BCD中
BD=BC•sin75°≈13.7
直角三角形ABD中
AB=BD÷sin40°≈21.3．
答：貨輪距燈塔A的距離約為21.3海里．

點(diǎn)評：本題考查了三角函數(shù)以及解直角三角形的應(yīng)用，注意直角三角形的應(yīng)用關(guān)鍵是構(gòu)建直角三角形，以便把條件和問題都放到直角三角形中進(jìn)行解決．