如圖,已知線段AB上一點(diǎn)O,以O(shè)B為半徑的⊙O交線段AB于C,以線段AO為直徑的半圓交⊙O于點(diǎn)D,精英家教網(wǎng)過點(diǎn)B作AB的垂線與AD相交于點(diǎn)E,
(1)求證:AE切⊙O于D;
(2)求OD•OE的值;
(3)如果⊙O的半徑為r,且OD+OE=3r,求OD、OE的長.
分析:(1)連接OD,證明OD⊥AE即可.
(2)連接BD,證明△DCB∽△BOE,得出OD•OE=BC•BO,得出結(jié)果.
(3)由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,可知OD,OE是方程x2-3rx+2r2=0的兩根,解方程求出結(jié)果.
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)證明:連接OD
∵AO為半圓直徑
∴∠ADO=90°,OD⊥AE,OD為⊙O半徑
∴AE切⊙O于D

(2)連接BD
∵BC為直徑
∴∠CDB=90°
∵EB⊥AB
∴∠EBA=90°
∴∠CDB=∠EBA
∵EB、ED是⊙O的兩切線
∴EB=ED,OE平分∠BED
∴EO⊥BD
∴∠DBC=∠BEO
∴△DCB∽△BOE
OD
BO
=
BC
OE

∴OD•OE=BC•BO
∴OD•OE=2r•r=2r2

(3)設(shè)以O(shè)D、OE為根的方程是x2-3rx+2r2=0(2)
∴x1=r,x2=2r
∵OD<OE
∴OD=r,OE=2r
點(diǎn)評:綜合考查了圓與相似三角形的性質(zhì)和應(yīng)用,以及解一元二次方程.連接半徑是證明切線常用的輔助線的作法.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知線段AB上有兩點(diǎn)C、D,且AC=BD,M、N分別是線段AC、AD的中點(diǎn),若AB=10cm,AC=BD=8cm,則線段MN的長為( 。
精英家教網(wǎng)
A、3cmB、4cmC、5cmD、6cm

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知線段AB上有兩點(diǎn)C、D,且AC=BD,M、N分別是線段AC、AD的中點(diǎn),若AB=a cm,AC=BD=b cm,且a、b滿足(a-10)2+|
b2
-4|=0

(1)求AB、AC的長度.
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(2)求線段MN的長度.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•裕華區(qū)二模)如圖①,將兩個(gè)等腰直角三角形疊放在一起,使上面三角板的一個(gè)銳角頂點(diǎn)與下面三角板的直角頂點(diǎn)重合,并將上面的三角板繞著這個(gè)頂點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),在旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng)下面三角板的斜邊被分成三條線段時(shí),我們來研究這三條線段之間的關(guān)系.
(1)實(shí)驗(yàn)與操作:
如圖②,如果上面三角板的一條直角邊旋轉(zhuǎn)到CM的位置時(shí),它的斜邊恰好旋轉(zhuǎn)到CN的位置,請?jiān)诰W(wǎng)格中分別畫出以AM、MN和NB為邊長的正方形,觀察這三個(gè)正方形的面積之間的關(guān)系;
(2)猜想與探究:
如圖③,在Rt△ABC中,BC=AC,∠ACB=90°,M、N是AB邊上的點(diǎn),∠MCN=45°,作DA⊥AB于點(diǎn)A,截取DA=NB,并連接DC、DM.
我們來證明線段CD與線段CN相等.
∵∠CAB=∠CBA=45°,又DA⊥AB于點(diǎn)A,
∴∠DAC=45°,∴∠DAC=∠CBA,
又∵DA=NB,BC=AC,
∴△CAD≌△CBN.
∴CD=CN.

請你繼續(xù)解答:
①線段MD與線段MN相等嗎?為什么?
②線段AM、MN、NB有怎樣的數(shù)量關(guān)系,為什么?
(3)拓廣與運(yùn)用:
如圖④,已知線段AB上任意一點(diǎn)M(AM<MB),是否總能在線段MB上找到一點(diǎn)N,使得分別以AM與BN為邊長的正方形的面積的和等于以MN為邊長的正方形的面積?若能,請?jiān)趫D④中畫出點(diǎn)N的位置,并簡要說明作法;若不能,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知線段AB上有兩點(diǎn)C、D,AD=35,BC=44,AC=
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BD,求線段AB的長.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知線段AB上有一點(diǎn)C,線段AC的長是線段BC長的一半多2cm.
(1)若線段AB的長是acm(a>2),寫出用a表示的線段BC長的式子;
(2)當(dāng)AB=11cm時(shí),求線段AC的長.

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