Question

已知，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，∠BOA＝30°，AB＝2．若以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)B在第一象限內(nèi)．將Rt△OAB沿OB折疊后，點(diǎn)A落在第一象限內(nèi)的點(diǎn)C處．

(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)若拋物線y＝ax²＋bx(a≠0)經(jīng)過(guò)C、A兩點(diǎn)，求此拋物線的解析式；

(3)若拋物線的對(duì)稱軸與OB交于點(diǎn)D，點(diǎn)P為線段DB上一點(diǎn)，過(guò)P作y軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)M．問(wèn)：是否存在這樣的點(diǎn)P，使得四邊形CDPM為等腰梯形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

注：拋物線y＝ax²＋bx＋c(a≠0)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸公式為

Answer 1

答案：
解析：

(1)過(guò)點(diǎn)C作CH⊥軸，垂足為H 　　∵在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，∠BOA＝30°，AB＝2 　　∴OB＝4，OA＝ 　　由折疊知，∠COB＝30°，OC＝OA＝ 　　∴∠COH＝60°，OH＝，CH＝3 　　∴C點(diǎn)坐標(biāo)為(，3) 　　(2)∵拋物線(≠0)經(jīng)過(guò)C(，3)、A(，0)兩點(diǎn) 　　∴解得： 　　∴此拋物線的解析式為： 　　(3)存在．因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/30A2/0116/0031/85084109eb303d7c7c67297806e2e8df/C/Image96.gif" width=106 height=25>的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(，3)即為點(diǎn)C 　　MP⊥軸，設(shè)垂足為N，PN＝，因?yàn)椤螧OA＝30°，所以O(shè)N＝ 　　∴P(，) 　　作PQ⊥CD，垂足為Q，ME⊥CD，垂足為E 　　把代入得： 　　∴M(，)，E(，) 　　同理：Q(，)，D(，1) 　　要使四邊形CDPM為等腰梯形，只需CE＝QD 　　即，解得：，(舍) 　　∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(，) 　　∴存在滿足條件的點(diǎn)P，使得四邊形CDPM為等腰梯形，此時(shí)P點(diǎn)的坐為(，)