Question

30、（1）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)3種不同的方案，將△ABC分割成三個(gè)小等腰三角形．

（2）如下圖1、圖2、圖3，均有AB∥CD，則
在圖1中，∠1、∠2、∠3的關(guān)系是

∠1+∠3=∠2

；
在圖2中，∠1、∠2、∠3、∠4的關(guān)系是

∠1+∠3=∠2+∠4

；
在圖3中，∠1、∠2、∠3、∠4、∠5的關(guān)系是

∠1+∠3+∠5=∠2+∠4

；

Answer 1

分析：（1）首先方案1：做∠B的角平分線BD交AC于點(diǎn)D，作∠BDC得角平分線DE交BC于點(diǎn)E，方案2，做∠B的角平分線BF交AC于點(diǎn)F，作∠C得角平分線CM交BF于點(diǎn)M，方案3，做∠C的角平分線CN交AB于點(diǎn)N，作∠BNC得角平分線NP交BC于點(diǎn)P，然后根據(jù)已知條件，推出相關(guān)角的度數(shù)，即可推出△ABC被分割的三個(gè)小等腰三角形；（2）分別過(guò)P，Q，M點(diǎn)作AB得平行線，然后根據(jù)平行線的判定定理和性質(zhì)，即可推出結(jié)論．

解答：解：（1）如圖方案1，做∠B的角平分線BD交AC于點(diǎn)D，作∠BDC得角平分線DE交BC于點(diǎn)E，
∵∠A=36°，
∴∠C=∠ABC=72°，
∴∠DBC=36°，∠BDC=72°，
∴∠EDG=∠BDE=36°，
∴△ABD，△BDE，△DEC為等腰三角形；
如圖方案2，做∠B的角平分線BF交AC于點(diǎn)F，作∠C得角平分線CM交BF于點(diǎn)M，
∵∠A=36°，
∴∠ACB=∠ABC=72°，
∴∠FBC=∠ABF=36°，∠FCM=∠MCB=72°，
∴∠CFM=∠CMF=72°，
∴△ABF，△BMC，△CMF為等腰三角形；
如圖方案3，做∠C的角平分線CN交AB于點(diǎn)N，作∠BNC得角平分線NP交BC于點(diǎn)P，
∵∠A=36°，
∴∠ACB=∠ABC=72°，
∴∠BCN=∠ACN=36°，∠BNC=∠B=72°，
∴∠BNP=∠PNC=36°，∠NPB=72°，
∴△ANC，△NPC，△BNP為等腰三角形；

（2）①在圖1中，作PN∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD⊥PN，
∴∠1=∠BPN，∠3=∠NPD，
∴∠BPD=∠1+∠2，
∴∠1+∠3=∠2； 
②在圖2中，作PM∥AB，HQ∥CD，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PM∥HQ，
∴∠1=∠BPN，∠PQH=∠MPQ，∠HQC=∠4，
∴∠1+∠3=∠BPM+∠MPQ+∠4，
∴∠1+∠3=∠2+∠4； 
③在圖3中，作PE∥AB，OQ∥AB，MF∥CD，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PE∥OQ∥MF，
∴∠1=∠BPE，∠EPQ=∠PQO，∠OQM=∠QMF，∠FMD=∠5，
∴∠2=∠1+∠PQO，∠4=∠OQM+∠5，
∴∠1+∠3+∠5=∠2+∠4．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等腰三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵在于正確的作出輔助線，求出相關(guān)角的度數(shù)．