Question

10．在矩形ABCD中，AB=8，BE，CF分別平分∠ABC，∠BCD，交AD于E，F，BE，CF交于點G，若EG=$\sqrt{2}$，則BC的長為14．

Answer 1

分析 根據矩形的性質，角平分線的定義，可以發(fā)現△DCF，△AEB，△BCG，△EFG都是等腰直角三角形，由此即可解決問題．

解答 解：如圖，

∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠DCB=∠ABC=90°，AD∥BC，
∵BE平分∠ABC，CF平分∠DCB，
∴∠FCB=∠EBC=∠BEA=45°，
∴∠CGB=∠EGF=90°，
∴∠GEF=∠GFE=45°，
∵EG=FG=$\sqrt{2}$，
∴EF=$\sqrt{2}$EG=2，
∵∠AEB=∠ABE=45°，
∴AE=AB=8，同理DC=DF=8，
∴DE=DF-EF=8-2=6，
∴BC=AD=AE+DE=8+6=14，
故答案為14．

點評 本題考查矩形的性質、等腰直角三角形的判定和性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是題目中多個等腰直角三角形的證明，屬于中考常考題型．