Question

如圖，矩形OABC的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，3），把矩形繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)一定的角度，使它的頂點(diǎn)O落在x軸的點(diǎn)D處，已知M是第四象限內(nèi)縱坐標(biāo)為-1的點(diǎn)，以M為頂點(diǎn)的拋物線正好過O、D兩點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）求拋物線的解析式；
（3）在拋物線上是否存在點(diǎn)N，使以O(shè)、M、N為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形？若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）連接OB、OD，根據(jù)對稱性可知點(diǎn)O、D關(guān)于點(diǎn)A對稱，根據(jù)點(diǎn)B的坐標(biāo)可得點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后即可求解；
（2）根據(jù)點(diǎn)O、D的坐標(biāo)求出對稱軸的解析式為x=1，然后得到頂點(diǎn)坐標(biāo)，再設(shè)出頂點(diǎn)式解析式，利用待定系數(shù)法求解即可；
（3）先根據(jù)點(diǎn)M的坐標(biāo)求出△AOM是等腰直角三角形，所以分①∠AMN=45°時(shí)，求出直線MN的解析式，然后與拋物線解析式聯(lián)立求解即可得到點(diǎn)N的坐標(biāo)，②∠AON=45°時(shí)，求出直線ON的解析式，然后與拋物線解析式聯(lián)立求解即可得到點(diǎn)N的坐標(biāo)，從而得解．

解答：解：（1）如圖，連接OB、BD，根據(jù)題意可得，點(diǎn)O、D關(guān)于點(diǎn)A對稱，
∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，3），
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0）
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，0）；

（2）∵拋物線過點(diǎn)O、D，
∴拋物線的對稱軸為x=1，
∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，-1），
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-1）²-1，
∴a（0-1）²-1=0，
解得a=1，
∴拋物線的解析式為y=（x-1）²-1=x²-2x+1-1=x²-2x，
即y=x²-2x；

（3）如圖，∵點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，-1），
∴△AOM是等腰直角三角形，
∴∠AOM=∠AMO=45°，
①當(dāng)∠AMN=45°時(shí)，則∠AMN=45°，
設(shè)直線MN的解析式為y=x+b₁，
則1+b₁=-1，
解得b₁=-2，
∴直線MN的解析式為y=x-2，
∴

y=x-2 y=x2-2x

，
解得

x1=1 y1=-1

（為點(diǎn)M的坐標(biāo)，舍去），

x2=2 y2=0

，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，0），
②∠AON=45°時(shí)，則∠AON=45°，
設(shè)直線MN的解析式為y=x，
則

y=x y=x2-2x

，
解得

x1=0 y1=0

（為坐標(biāo)原點(diǎn)，舍去），

x2=3 y2=3

，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（3，3），
綜上所述，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2，0）或（3，3）．

點(diǎn)評：本題綜合考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，直角三角形的性質(zhì)，以及函數(shù)圖象交點(diǎn)的求解方法，求出頂點(diǎn)M的坐標(biāo)是解答本題關(guān)鍵．