Question

在數學活動中，小明為了求

1

2

+

1

22

+

1

23

+

1

24

…+

1

2a

的值（結果用n表示），設計如圖甲所示的幾何圖形．

（1）請你利用這個幾何圖形求

1

2

+

1

22

+

1

23

+

1

24

…+

1

2a

的值為

1-

1

2a

．
（2）請你利用圖乙，再設計一個能求

1

2

+

1

22

+

1

23

+

1

24

…+

1

2a

的值的幾何圖形．

Answer 1

分析：（1）根據圖形分析，用“面積法”解題；即面積為

1

2

+

1

22

+

1

23

+

1

24

…+

1

2a

，可看作用正方形的面積減去第n個矩形的面積，為1-

1

2a

．
（2）仿照（1）依次將四邊形的面積平分即可．

解答：解：（1）由圖形可得：
s₁=

1

2

=1-

1

2

；
s₂=

1

2

+

1

22

=

3

4

=1-

1

22

；
s₃=

1

2

+

1

22

+

1

23

=

7

8

=1-

1

23

；
…
∴

1

2

+

1

22

+

1

23

+

1

24

…+

1

2a

=1-

1

2a

；

（2）如圖：

點評：本題考查了圖形的變化問題，重點考查學生歸納推理總結規(guī)律的能力．