Question

如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E是線段AD上的任意一點(diǎn)（E與A，D不重合），G，F(xiàn)，H分別是BE，BC，CE的中點(diǎn)．
（1）證明：四邊形EGFH是平行四邊形；
（2）在（1）的條件下，若EF⊥BC，且EF=

1

2

BC，證明：平行四邊形EGFH是正方形．

Answer 1

分析：通過中位線定理得出GF∥EH且GF=EH，所以四邊形EGFH是平行四邊形；當(dāng)添加了條件EF⊥BC，且EF=

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2

BC后，通過對(duì)角線相等且互相垂直平分（EF⊥GH，且EF=GH）就可證明是正方形．

解答：證明：（1）∵G，F(xiàn)分別是BE，BC的中點(diǎn)，
∴GF∥EC且GF=

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2

EC．
又∵H是EC的中點(diǎn)，EH=

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2

EC，
∴GF∥EH且GF=EH．
∴四邊形EGFH是平行四邊形．

（2）連接GH，EF．
∵G，H分別是BE，EC的中點(diǎn)，
∴GH∥BC且GH=

1

2

BC．
又∵EF⊥BC且EF=

1

2

BC，
又∵EF⊥BC，GH是三角形EBC的中位線，
∴GH∥BC，
∴EF⊥GH，
又∵EF=GH．
∴平行四邊形EGFH是正方形．

點(diǎn)評(píng)：主要考查了平行四邊形的判定和正方形的性質(zhì)．正方形對(duì)角線的特點(diǎn)是：對(duì)角線互相垂直；對(duì)角線相等且互相平分；每條對(duì)角線平分一組對(duì)角．