Question

在直角坐標系xoy中，已知點P是反比例函數（x＞0）圖象上一個動點，以P為圓心的圓始終與y軸相切，設切點為A。

（1）如圖1，⊙P運動到與x軸相切，設切點為K，試判斷四邊形OKPA的形狀，并說明理由；
（2）如圖2，⊙P運動到與x軸相交，設交點為B，C，當四邊形ABCP是菱形時：
①求出點A，B，C的坐標；
②在過A，B，C三點的拋物線上是否存在點M，使△MBP的面積是菱形ABCP面積的，若存在，試求出所有滿足條件的M點的坐標，若不存在，試說明理由。

Answer 1

解：（1）四邊形OKPA是正方形。理由如下： ∵⊙P分別與兩坐標軸相切， ∴PA⊥OA，PK⊥OK， ∴∠PAO=∠OKP=90°， 又∵∠AOK=90°， ∴∠PAO=∠OKP=∠AOK=90°， ∴四邊形OKPA是矩形， 又∵OA=OK， ∴四邊形OKPA是正方形； （2）①連接PB，設點P的橫坐標為x，則其縱坐標為， 過點P作PG⊥BC于G， ∵四邊形ABCP為菱形， ∴BC=PA=PB=PC， ∴△PBC為等邊三角形， 在Rt△PBG中，∠PBG=60°，PB=PA=x，PG= sin∠PBG=，即，解之得：x=±2（負值舍去）， ∴PG=，PA=BC=2， 易知四邊形OGPA是矩形，PA=OG=2，BG=CG=1， ∴OB=OG-BG=1，OC=OG+GC=3， ∴A（0，），B（1，0）C（3，0）， 設二次函數解析式為：，據題意得：， 解之得：， ∴二次函數關系式為：； ②設直線BP的解析式為：y=kx+b，據題意得：， 解之得：， ∴直線BP的解析式為：， 過點A作直線AM∥PB，則可得直線AM的解析式為：， 解方程組：得， 過點C作直線CM∥PB，則可得直線CM的解析式為：， 解方程組：得， 綜上可知，滿足條件的M的坐標有四個：（0，），（7，8），（3，0），（4，）。