Question

在東西方向的海岸線L上有一長為1km的碼頭MN（如圖），在碼頭西端M 的正西19.5km 處有一觀察站A．某時(shí)刻測(cè)得一艘勻速直線航行的輪船位于 A 的北偏西30°，且與A相距40km的B處；經(jīng)過1小時(shí)20分鐘，又測(cè)得該輪船位于A的北偏東60°，且與A相距8

3

km的C處．
（1）求該輪船航行的速度（保留精確結(jié)果）；
（2）如果該輪船不改變航向繼續(xù)航行，那么輪船能否正好行至碼頭MN靠岸？請(qǐng)說明理由；
（3）根據(jù)（2）的探究過程，請(qǐng)求出要使從B出發(fā)的輪船靠岸，那么輪船的航線y=kx+b的k的取值范圍？（直接寫出答案）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)方向角可以證得△ABC是直角三角形，根據(jù)勾股定理即可求得BC的長，則航速即可求解；
（2）以正東方向所在直線為橫軸，以正北方向所在直線為縱軸，點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系．即可求得直線BC的解析式，得到BC與河岸的交點(diǎn)，從而確定船是否能到達(dá)MN的位置，從而進(jìn)行判斷；
（3）根據(jù)（2）可以求得M、N的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法即可求得BM和BN的解析式，從而求得k的范圍．

解答：解：（1）∵∠BAD=30°，∠DAC=60°，
∴∠BAC=90°，
∴在Rt△BAC中，BC²=AB²+AC²=40²+（8

3

）²=1792，
∴BC=16

7

，
∴輪船的航行速度為

16 7

4 3

=12

7

（km/h）；

（2）以正東方向所在直線為橫軸，以正北方向所在直線為縱軸，點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系．作BE⊥x軸于E，則在直角△ABE中，AB=40km，∠BEA=90°，
則AE=AB•cos60°=20，BE=AB•sin60°=20

3

，
則B的坐標(biāo)是：（-20，20

3

），同理C的坐標(biāo)是：（12，4

3

），
設(shè)直線BC的解析式是y=kx+b，
則

-20k+b=20 3 12k+b=4 3

，解得：

k=- 3 2 b=10 3

，
則直線BC的解析式為y=-

3

2

x+10

3

令y=0，則x=20，而AM=19.5，
∴20.5＞20＞19.5
∴輪船可以行至碼頭MN靠岸．…（4分）

（3）M的坐標(biāo)是（19.5，0），設(shè)直線BM的解析式是y=kx+b
則

-20k+b=20 3 19.5k+b=0

，
解得：

k=- 40 3 79 b= 1560 3 79

，
N的坐標(biāo)是（20.5，0），設(shè)直線BN的解析式是：y═kx+b，
則

-20k+b=20 3 20.5k+b=0

，
解得：

k=- 40 3 81 b= 820 3 81

，
則-

40 3

79

≤k≤-

40 3

81

…（3分）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了方向角以及待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，正確建立坐標(biāo)系，把求線段的長的問題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)問題提現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想．