Question

如圖，以O(shè)為圓心，4為半徑的圓與x軸交于點A，C在⊙O上，∠OAC=60°．
（1）求∠AOC的度數(shù)；
（2）P為x軸正半軸上一點，且PA=OA，連接PC，試判斷PC與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（3）有一動點M從A點出發(fā)，在⊙O上按順時針方向運動一周，當S_△MAO=S_△CAO時，求動點M所經(jīng)過的弧長，并寫出此時M點的坐標．

Answer 1

分析：（1）由于∠OAC=60°，易證得△OAC是等邊三角形，即可得∠AOC=60°．
（2）由（1）的結(jié)論知：OA=AC，因此OA=AC=AP，即OP邊上的中線等于OP的一半，由此可證得△OCP是直角三角形，且∠OCP=90°，由此可判斷出PC與⊙O的位置關(guān)系．
（3）此題應(yīng)考慮多種情況，若△MAO、△OAC的面積相等，那么它們的高必相等，因此有四個符合條件的M點，即：C點以及C點關(guān)于x軸、y軸、原點的對稱點，可據(jù)此進行求解．

解答：解：（1）∵OA=OC，∠OAC=60°，
∴△OAC是等邊三角形，
故∠AOC=60°．

（2）由（1）知：AC=OA，已知PA=OA，即OA=PA=AC；
∴AC=

1

2

OP，因此△OCP是直角三角形，且∠OCP=90°，
而OC是⊙O的半徑，故PC與⊙O的位置關(guān)系是相切．

（3）如圖；有三種情況：
①取C點關(guān)于x軸的對稱點，則此點符合M點的要求，此時M點的坐標為：M₁（2，-2

3

）；
劣弧MA的長為：

60π×4

180

=

4π

3

；
②取C點關(guān)于原點的對稱點，此點也符合M點的要求，此時M點的坐標為：M₂（-2，-2

3

）；
劣弧MA的長為：

120π×4

180

=

8π

3

；
③取C點關(guān)于y軸的對稱點，此點也符合M點的要求，此時M點的坐標為：M₃（-2，2

3

）；
優(yōu)弧MA的長為：

240π×4

180

=

16π

3

；
④當C、M重合時，C點符合M點的要求，此時M₄（2，2

3

）；
優(yōu)弧MA的長為：

300π×4

180

=

20π

3

；
綜上可知：當S_△MAO=S_△CAO時，動點M所經(jīng)過的弧長為

4π

3

、

8π

3

、

16π

3

、

20π

3

，
對應(yīng)的M點坐標分別為：M₁（2，-2

3

）、M₂（-2，-2

3

）、M₃（-2，2

3

）、M₄（2，2

3

）．

點評：此題主要考查了切線的判定以及弧長的計算方法，注意（3）題中分類討論思想的運用，不要漏解．