Question

（2013•岱山縣模擬）欣欣商鋪計劃用地面磚鋪設營業(yè)用房的矩形地面ABCD，已知該矩形地面的長10米，寬8米．鋪設圖案設計如圖所示：矩形的四角為小正方形，陰影部分為四個矩形，四個矩形的寬都為小正方形的邊長，陰影部分鋪綠色地面磚，其余部分鋪白色地面磚．
（1）要使鋪白色地面磚的面積為52平方米，那么矩形地面四角的小正方形的邊長應為多少米？
（2）如果鋪白色地面磚的費用為每平方米30元，鋪綠色地面磚的費用為每平方米20元．當?shù)孛嫠慕切≌�方形的邊長為多少米時，鋪設地面的總費用最少？最少費用是多少？

Answer 1

分析：（1）設小正方形的邊長為x米，表示出里邊大矩形的長為（10-2x）米，寬為（8-2x）米，利用白色部分的面積=4個小正方形的面積+里邊大矩形的面積，列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，即為小正方形的邊長；
（2）設鋪設底面的總費用為W，由（1）表示出的白色部分的面積，根據(jù)矩形ABCD的面積-白色部分的面積=綠色部分的面積，根據(jù)各自的單價表示出鋪設底面的總費用，得到W與x的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出鋪設總費用的最小值及此時小正方形的邊長．

解答：解：（1）設小正方形的邊長為x米，
則4x²+（10-2x）（8-2x）=52，
整理得：2x²-9x+7=0，即（x-1）（2x-7）=0，
解得：x₁=1，x₂=3.5，
經(jīng)檢驗均符合題意，
答：小正方形的邊長為1米或3.5米；

（2）設鋪設地面的總費用為W元，
則W=30×[4x²+（10-2x）（8-2x）]+20×[10×8-4x²-（10-2x）（8-2x）]
=80x²-360x+2400=80（x-

9

4

）²+1995，
∵80＞0，∴W有最小值，
當x=

9

4

米時，W_最小值=1995元．
答：當小正方形的邊長為

9

4

米時，鋪設地面的總費用最少，最少費用為1995元．

點評：此題考查了二次函數(shù)的應用，以及一元二次方程的應用，涉及的知識有：二次函數(shù)的性質(zhì)，一元二次方程的解法，配方法的應用，以及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，弄清題中的等量關系是解本題第一問的關鍵．