如圖1，已知菱形ABCD的邊長為2，點A在x軸負半軸上，點B在坐標原點．點D的坐標為（- ，3），拋物線y=ax2+b（a≠0）經(jīng)過AB、CD兩邊的中點。
（1）求這條拋物線的函數(shù)解析式；
（2）將菱形ABCD以每秒1個單位長度的速度沿x軸正方向勻速平移（如圖2），過點B作BE⊥CD于點E，交拋物線于點F，連接DF、AF，設菱形ABCD平移的時間為t秒（0＜t＜3 ）。
①是否存在這樣的t，使△ADF與△DEF相似？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；
②連接FC，以點F為旋轉(zhuǎn)中心，將△FEC按順時針方向旋轉(zhuǎn)180°，得△FE′C′，當△FE′C′落在x軸與拋物線在x軸上方的部分圍成的圖形中（包括邊界）時，求t的取值范圍。（寫出答案即可）

解：（1）由題意得AB的中點坐標為（-3 ，0），CD的中點坐標為（0，3），  
分別代入y=ax2+b，得，解得，，
∴這條拋物線的函數(shù)解析式為y=-x2+3；                                    
（2）①存在。如圖2所示，在Rt△BCE中，∠BEC=90°，BE=3，BC=，
∴，
∴∠C=60°，∠CBE=30°，
∴EC=BC=，DE=，                                
又∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠C=180°，
∴∠ADC=180°-60°=120°
要使△ADF與△DEF相似，則△ADF中必有一個角為直角，
（I）若∠ADF=90 °，∠EDF=120°-90°=30°，
在Rt△DEF中，DE=，得EF=1，DF=2，
又∵E（t，3），F(xiàn)（t，-t2+3），
∴EF=3-（-t2+3）=t2，
∴t2=1，
∵t＞0，
∴t=1，                                    
此時，
∴，
又∵∠ADF=∠DEF，
∴△ADF∽△DEF；  
（II）若∠DFA=90°，可證得△DEF∽△FBA，則，
設EF=m，則FB=3-m，
∴，即m2-3m+6=0，此方程無實數(shù)根，
∴此時t不存在；                                        
（III）由題意得，∠DAF＜∠DAB=60°，
∴∠DAF≠90°，此時t不存在，                              
綜上所述，存在t=1，使△ADF與△DEF相似；
②。
練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•湖州）如圖1，已知菱形ABCD的邊長為2
3
，點A在x軸負半軸上，點B在坐標原點．點D的坐標為（-
3
，3），拋物線y=ax2+b（a≠0）經(jīng)過AB、CD兩邊的中點．
（1）求這條拋物線的函數(shù)解析式；
（2）將菱形ABCD以每秒1個單位長度的速度沿x軸正方向勻速平移（如圖2），過點B作BE⊥CD于點E，交拋物線于點F，連接DF、AF．設菱形ABCD平移的時間為t秒（0＜t＜
3
）
①是否存在這樣的t，使△ADF與△DEF相似？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；
②連接FC，以點F為旋轉(zhuǎn)中心，將△FEC按順時針方向旋轉(zhuǎn)180°，得△FE′C′，當△FE′C′落在x軸與拋物線在x軸上方的部分圍成的圖形中（包括邊界）時，求t的取值范圍．（寫出答案即可）

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•臺州）如果三角形有一邊上的中線長恰好等于這邊的長，那么稱這個三角形為“好玩三角形”．
（1）請用直尺和圓規(guī)畫一個“好玩三角形”；
（2）如圖在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=
3
2
，求證：△ABC是“好玩三角形”；
（3）如圖2，已知菱形ABCD的邊長為a，∠ABC=2β，點P，Q從點A同時出發(fā)，以相同速度分別沿折線AB-BC和AD-DC向終點C運動，記點P經(jīng)過的路程為s．
①當β=45°時，若△APQ是“好玩三角形”，試求
a
s
的值；
②當tanβ的取值在什么范圍內(nèi)，點P，Q在運動過程中，有且只有一個△APQ能成為“好玩三角形”．請直接寫出tanβ的取值范圍．
（4）（本小題為選做題，作對另加2分，但全卷滿分不超過150分）
依據(jù)（3）的條件，提出一個關于“在點P，Q的運動過程中，tanβ的取值范圍與△APQ是‘好玩三角形’的個數(shù)關系”的真命題（“好玩三角形”的個數(shù)限定不能為1）

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

如圖1，已知菱形ABCD的邊長為，點A在x軸負半軸上，點B在坐標原點．點D的坐標為（- ，3），拋物線y=ax2+b（a≠0）經(jīng)過AB、CD兩邊的中點．

（1）求這條拋物線的函數(shù)解析式；

（2）將菱形ABCD以每秒1個單位長度的速度沿x軸正方向勻速平移（如圖2），過點B作BE⊥CD于點E，交拋物線于點F，連接DF、AF．設菱形ABCD平移的時間為t秒（0＜t＜ 3 ）

①是否存在這樣的t，使△ADF與△DEF相似？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；

②連接FC，以點F為旋轉(zhuǎn)中心，將△FEC按順時針方向旋轉(zhuǎn)180°，得△FE′C′，當△FE′C′落在x軸與拋物線在x軸上方的部分圍成的圖形中（包括邊界）時，求t的取值范圍．（寫出答案即可）

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科目：初中數(shù)學 來源：2013年初中畢業(yè)升學考試（浙江臺州卷）數(shù)學（帶解析） 題型：解答題

如果三角形有一邊上的中線長恰好等于這邊的長，那么稱這個三角形為“好玩三角形”

（1）請用直尺與圓規(guī)畫一個“好玩三角形”；
（2）如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，，求證：△ABC是“好玩三角形”；
（3）如圖2，已知菱形ABCD的邊長為a, ∠ABC=2β，點P，Q從點A同時出發(fā)，以相同的速度分別沿折線AB－BC和AD－DC向終點C運動，記點P所經(jīng)過的路程為s
①當β=45°時，若△APQ是“好玩三角形”，試求的值；
②當tanβ的取值在什么范圍內(nèi)，點P，Q在運動過程中，有且只有一個△APQ能成為“好玩三角形”？請直接寫出tanβ的取值范圍。
（4）本小題為選做題
依據(jù)（3）中的條件，提出一個關于“在點P，Q的運動過程中，tanβ的取值范圍與△APQ是“好玩三角形”的個數(shù)關系”的真命題（“好玩三角形”的個數(shù)限定不能為1）。

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科目：初中數(shù)學 來源：2013年四川省眉山市中考適應性考試數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

如圖1，已知菱形ABCD的邊長為2，點A在x軸負半軸上，點B在坐標原點．點D的坐標為（-，3），拋物線y=ax2+b（a≠0）經(jīng)過AB、CD兩邊的中點．
（1）求這條拋物線的函數(shù)解析式；
（2）將菱形ABCD以每秒1個單位長度的速度沿x軸正方向勻速平移（如圖2），過點B作BE⊥CD于點E，交拋物線于點F，連接DF、AF．設菱形ABCD平移的時間為t秒（0＜t＜）
①是否存在這樣的t，使△ADF與△DEF相似？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；
②連接FC，以點F為旋轉(zhuǎn)中心，將△FEC按順時針方向旋轉(zhuǎn)180°，得△FE′C′，當△FE′C′落在x軸與拋物線在x軸上方的部分圍成的圖形中（包括邊界）時，求t的取值范圍．（寫出答案即可）

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