Question

如圖，已知BD是等腰直角三角形ABC的腰AC上的中線，AE⊥BD，且交BD、BC于E、F，求證：∠ADB＝∠CDF．

Answer 1

答案：
解析：

證法1：過(guò)C點(diǎn)作CM⊥AC交AF的延長(zhǎng)線于M點(diǎn)(如圖(甲))，則 　　∵∠BAC＝，且AE⊥BD， 　　∴∠EAD＝∠ABD． 　　在△BAD和△ACM中， 　　 　　∴△BAD≌△ACM． 　　∴∠ADE＝∠M及AD＝CM． 　　又∵D是AC中點(diǎn)， 　　∴CM＝AD＝DC． 　　又∵AB＝AC，∠BAC＝， 　　∴∠ACB＝∠MCF＝． 　　在△DCF和△MCF中， 　　 　　∴△DCF≌△MCF． 　　∴∠M＝∠CDF， 　　∴∠CDF＝∠ADE． 　　證法2：如圖(乙)，過(guò)A作AN⊥BC于N，且交BD于點(diǎn)M，則 　　∵AB＝AC且∠BAC＝， 　　∴∠BAM＝，∠C＝， 　　∴∠BAM＝∠C． 　　∵AE⊥BD， 　　∴∠DAE＝∠ABM． 　　在△ABM和△CAF中， 　　AB＝AC，∠ABM＝∠CAF，∠BAM＝∠C＝， 　　∴△ABM≌△CAF， 　　∴AM＝CF． 　　又∵D是AC中點(diǎn)，∴AD＝DC． 　　在△AMD和△CFD中，AD＝CD，∠DAM＝∠C＝，AM＝CF， 　　∴△AMD≌△CFD． 　　∴∠ADE＝∠CDF．

提示：

點(diǎn)悟：結(jié)論中的兩個(gè)角不在同一個(gè)三角形，不易比較兩者關(guān)系，而且兩角所在的兩個(gè)三角形不同類，故要考慮移動(dòng)其中一個(gè)角的位置，可設(shè)法將∠CDF轉(zhuǎn)化到直角三角形中，或者將∠ADB轉(zhuǎn)化到斜三角形中，或?qū)�兩個(gè)三角形化為同類． 　　點(diǎn)撥：在證兩個(gè)角相等時(shí)，若兩個(gè)角分別屬于不同的三角形，則常證明兩個(gè)三角形全等．若兩個(gè)三角形不同類，則需要構(gòu)造一個(gè)能與該三角形全等的三角形．如本例證法2中構(gòu)造的△ADM和△CDF．