Question

如圓，AB是⊙O的直徑，直線PQ過⊙O上的點C，PQ是⊙O的切線．
（1）求證：∠BCP=∠A；
（2）如果AB是⊙O的弦（不是直徑），這個結論還成立嗎？試說明．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OC，滿足切線的性質定理．再根據直徑所對的邊是直角就可以證出結論．
（2）這個結論還成立；過C點作直徑CD，連接BD，則∠A=∠D，再由PQ是⊙O的切線∠DCB+∠BCP=90°，∠BCP=∠A．
解答：（1）證明：連接OC   （1分）
PQ是⊙O的切線
∴OC⊥PQ
∴∠OCB+∠BCP=90°（2分）
∵OB=OC
∴∠OBC=∠OCB    （3分）
∵AB是⊙O的直徑
∴∠ACB=90°
∴∠OBC+∠A=90°
∴∠BCD=∠A    （4分）

（2）解：如果AB是⊙O的弦（不是直徑），這個結論還成立（5分）
理由為：過C點作直徑CD，連接BD，則∠A=∠D，∠DBC=90°
∴∠D+∠DCB=90°（6分）
∵PQ是⊙O的切線
∴OC⊥PQ
∴∠DCB+∠BCP=90°（7分）
∴∠BCP=∠D
∴∠BCP=∠A    （8分）
點評：本題主要考查了圓的切線的性質定理，以及圓的直徑所對的圓周角是直角．