Question

（2012•奉賢區(qū)二模）已知：半圓O的半徑OA=4，P是OA延長線上一點，過線段OP的中點B作垂線交⊙O于點C，射線PC交⊙O于點D，連接OD．
（1）若

AC

=

CD

，求弦CD的長．
（2）若點C在

AD

上時，設PA=x，CD=y，求y與x的函數關系式及自變量x的取值范圍；
（3）設CD的中點為E，射線BE與射線OD交于點F，當DF=1時，請直接寫出tan∠P的值．

Answer 1

分析：（1）根據

AC

=

CD

，得出∠DOC=∠AOC，進而求出PC=OC，以及△DOC∽△DPO，再利用相似三角形的性質得出即可；
（2）作OE⊥CD，求出△PBC∽△PEO，進而得出

PB

PE

=

PC

OP

，即可求出y與x的關系式；
（3）分別利用若點D在

AC

外部時，以及利用若點D在

AC

上時，利用等腰三角形的性質以及銳角三角函數關系得出tan∠P的值即可．

解答：解：（1）連接OC，如圖1，
∵

AC

=

CD

，
∴∠DOC=∠AOC，
又∵BC垂直平分OP，
∴PC=OC，
而OA=4，
∴CP=OC=4，
∴∠P=∠POC，
∴∠CPO=∠COD，
而∠PDO=∠ODC，
∴△DOC∽△DPO，
∴DC：OD=OD：DP，即OD²=DC•DP，
∴DC（DC+4）=16，
∴CD=2

5

-2；

（2）作OE⊥CD，垂足為E，如圖1，
則CE=

1

2

CD=

1

2

y，
∵∠P=∠P，∠PBC=∠PEO=90°，
∴△PBC∽△PEO，
∴

PB

PE

=

PC

OP

，
而PB=

1

2

OP=

1

2

（x+4），PE=PC+CE=4+

1

2

y，
∴

x+4 2

4+ y 2

=

4

x+4

，
∴y=

1

4

x²+2x-4（4

2

-4＜x＜4）；

（3）若點D在

AC

外部時，
連接OC和OE．
顯然可以得：Rt△CBP≌Rt△CBO，
∴∠CPB=∠COB=x（不妨設其大小為x）
∴∠DCO=2x．（三角形外角的性質定理），
同時，PC=OC=R=4，
∵CE=DE（已知）
∴由垂徑定理可知：OE⊥CD，
在△Rt△OEC和Rt△OED中，
∵

EO=EO CO=DO CE=ED

，
∴Rt△OEC≌Rt△OED （SSS）
∴∠ODC=∠OCD=2x．
同時，由銳角三角函數定義，
在Rt△OPE中．
tan∠APD=

OE

PE

，
∵∠CBO=∠CEO=90°，
∴四點B，C，E，O四點共圓，
∴由同圓中，同弧上的圓周角相等可知
∠BEC=∠BOC=x，
∴∠DEF=∠BEC（對頂角相等）=∠BOC=x．
在△DEF中，由三角形外角性質定理，
∠ODC=∠F+∠DEF，
∴2x=∠F+x，
∴∠F=x．
∴△DEF為等腰三角形，
CE=DE=DF=1．
∴PE=PC+CE=4+1=5，
在Rt△ODE中，DE=1，OD=R=4，
∴由勾股定理可得OE=

15

，
∴tan∠P=

OE

PE

=

15

5

，
若點D在

AC

上時，
同理可知 CE=DE=DF=1，PC=OC=r=4，
故PE=3，OE=

15

，
則tan∠P=

OE

PE

=

15

3

．

點評：此題主要考查了圓的綜合應用以及全等三角形的判定與性質以及勾股定理和四點共圓以及等腰三角形的性質等知識，利用數形結合以及分類討論得出是解題關鍵．