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如圖，拋物線y=-x2+bx+c的頂點為Q，與x軸交于A（-1，0）、B（5，0）兩點，與y軸交于C點．
（1）直接寫出拋物線的解析式及其頂點Q的坐標；
（2）在該拋物線的對稱軸上求一點P，使得△PAC的周長最小．請在圖中畫出點P的位置，并求點P的坐標．
分析：（1）把點A、B的坐標代入拋物線解析式求出b、c的值，即可得到拋物線解析式，然后整理成頂點式形式，再寫出頂點坐標即可；
（2）因為AC的長度一定，所以只要找出點P到A、C兩點的距離之和最小即可，根據軸對稱確定最短路徑問題，連接BC與對稱軸的交點即為所求的點P，設直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），利用待定系數法求出直線BC的解析式，然后求解即可．
解答：解：（1）∵拋物線y=-x2+bx+c經過點A（-1，0）、B（5，0），
∴
-1-b+c=0
-25+5b+c=0
，
解得
b=4
c=5
，
∴拋物線的解析式為y=-x2+4x+5，
∵y=-x2+4x+5=-（x-2）2+9，
∴Q（2，9）；

（2）如圖，連接BC，交對稱軸于點P，連接AP、AC
∵AC長為定值，
∴要使△PAC的周長最小，只需PA+PC最小．
∵點A關于對稱軸x=1的對稱點是點B（5，0），拋物線y=-x2+4x+5與y軸交點C的坐標為（0，5），
∴由幾何知識可知，PA+PC=PB+PC為最小，
設直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），
將B（5，0）、C（0，5）代入得
5k+b=0
b=5
，
解得
k=-1
b=5
，
∴y=-x+5，
當x=2時，y=-2+5=3，
∴點P的坐標為（2，3）．
點評：本題是二次函數綜合題，主要利用了待定系數法求二次函數解析式，利用軸對稱確定最短路線問題，難度中等，（2）確定出點P的位置是解題的關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數學 來源： 題型：

26、已知：如圖，拋物線C1，C2關于x軸對稱；拋物線C1，C3關于y軸對稱．拋物線C1，C2，C3與x軸相交于A、B、C、D四點；與y相交于E、F兩點；H、G、M分別為拋物線C1，C2，C3的頂點．HN垂直于x軸，垂足為N，且|OE|＞|HN|，|AB|≠|HG|
（1）A、B、C、D、E、F、G、H、M9個點中，四個點可以連接成一個四邊形，請你用字母寫出下列特殊四邊形：菱形
AHBG
；等腰梯形
HGEF
；平行四邊形
EGFM
；梯形
DMHC
；（每種特殊四邊形只能寫一個，寫錯、多寫記0分）
（2）證明其中任意一個特殊四邊形；
（3）寫出你證明的特殊四邊形的性質．

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科目：初中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，拋物線交x軸于點A（-2，0），點B（4，0），交y軸于點C（0，4）．
（1）求拋物線的解析式，并寫出頂點D的坐標；
（2）若直線y=x交拋物線于M，N兩點，交拋物線的對稱軸于點E，連接BC，EB，EC．試判斷△EBC的形狀，并加以證明；
（3）設P為直線MN上的動點，過P作PF∥ED交直線MN上方的拋物線于點F．問：在直線MN上是否存在點P，使得以P，E，D，F為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點P及相應的點F的坐標；若不存在，請說明理由．

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科目：初中數學 來源： 題型：

如圖，拋物線的頂點坐標為M（1，4），與x軸的一個交點是A（-1，0），與y軸交于點B，直線x=1交x軸于點N．
（1）求拋物線的解析式及點B的坐標；
（2）求經過B、M兩點的直線的解析式，并求出此直線與x軸的交點C的坐標；
（3）若點P在拋物線的對稱軸x=1上運動，請你探索：在x軸上方是否存在這樣的P點，使精英家教網以P為圓心的圓經過點A，并且與直線BM相切？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

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科目：初中數學 來源： 題型：

如圖，拋物線y=ax2+bx+c交x軸于點A（-3，0），點B（1，0），交y軸于點E（0，-3）精英家教網．點C是點A關于點B的對稱點，點F是線段BC的中點，直線l過點F且與y軸平行．直線y=-x+m過點C，交y軸于D點．
（1）求拋物線的函數表達式；
（2）點K為線段AB上一動點，過點K作x軸的垂線與直線CD交于點H，與拋物線交于點G，求線段HG長度的最大值；
（3）在直線l上取點M，在拋物線上取點N，使以點A，C，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形，求點N的坐標．

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科目：初中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸兩交點是A（-1，0），B（3，0），則如圖可知y＜0時，x的取值范圍是（　　）
A、-1＜x＜3B、3＜x＜-1C、x＞-1或x＜3D、x＜-1或x＞3

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