Question

（2002•煙臺）如圖，已知△ABC的面積為5，點M在AB邊上移動（點M與點A、B不重合），MN∥BC，MN交AC于點N，連接BN．設=x，S_△MBN=y．
（1）求y關于x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）點E、F分別是邊AB，AC的中點，設△MBN與△EBF的公共部分的面積為S，試用含x的代數式表示S；
（3）當第（2）問中的S=時，試確定x的值．（不必寫出解題過程）

Answer 1

【答案】分析：（1）由MN∥BC可知△AMN∽△ABC，得到S_△AMN：S_△ABC=（）²，即S_△AMN：5=x²，利用相似的面積比等于相似比的平方可求得S_△MBN=-5x²+5x，即y=-5x²+5x（0＜x＜1）；
（2）根據FE∥BC∥MN可知，
①當0＜x≤時，△MBN與△EBF的公共部分的三角形與△MBN相似，利用相似的面積比等于相似比的平方可求得S=；
②當＜x＜1時，△MBN與△EBF的公共部分的三角形與△EBF相似，利用相似的面積比等于相似比的平方可求得S=5（1-x）²；
（3）當S=時，x=或x=．
解答：解：（1）∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC
∴S_△AMN：S_△ABC=（）²，
即S_△AMN：5=x²，
∵S_△MBN：S_△AMN=-1，
∴S_△MBN=-5x²+5x
∴y=-5x²+5x（0＜x＜1）；

（2）∵E、F分別是邊AB，AC的中點，∴FE∥BC∥MN，
①當0＜x≤時，△MBN與△EBF的公共部分的三角形與△MBN相似，
∴y：S=4（1-x）²，∴S=，
②當＜x＜1時，△MBN與△EBF的公共部分的三角形與△EBF相似，
∴S：S_△BEF=4（1-x）²，
∵S_△BEF=，
∴S=5（1-x）²；

（3）當S=時，x=或x=．
點評：主要考查了相似三角形的性質和根據實際問題列二次函數關系式，其中涉及到直接開平方法解一元二次方程的方法；要會根據幾何圖形之間的關系列一元二次方程，利用相似三角形的相似比是解題的關鍵．