Question

如圖，在銳角△ABC中，AB＝，∠BAC＝45°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，M，N分別是AD和AB上的動點(diǎn)，則BM+MN的最小值是______。

Answer 1

5

試題分析：在AC上截取AE=AN，連接BE，根據(jù)角平分線的性質(zhì)結(jié)合公共邊即可得到△AME≌△AMN，可得ME=MN，即得BM+MN=BM+ME≥BE，根據(jù)BM+MN有最小值可得當(dāng)BE是點(diǎn)B到直線AC的距離時，BE⊥AC，則可得△ABE為等腰直角三角形，從而求得結(jié)果.
在AC上截取AE=AN，連接BE

∵∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D
∴∠EAM=∠NAM
∵AM=AM
∴△AME≌△AMN（SAS）
∴ME=MN
∴BM+MN=BM+ME≥BE
∵BM+MN有最小值
當(dāng)BE是點(diǎn)B到直線AC的距離時，BE⊥AC
又AB=，∠BAC=45°，此時，△ABE為等腰直角三角形
∴BE=5，即BE取最小值為5
∴BM+MN的最小值是5．
點(diǎn)評：構(gòu)造法是初中解題中常用的一種方法，對于最值的求解是初中考查的重點(diǎn)也是難點(diǎn)．